Sottogruppi Ciclici

[Fabryak95]

Salve ragazzi,qualcuno potrebbe spiegarmi gentilmente come determinare tutti i sottogruppi ciclici di $Z_7$.
Grazie in anticipo.

[vict85]

Con \(Z_7\) intendi \(\mathbb{Z}_7 = \mathbb{Z}/7\mathbb{Z}\)?

Tutti i sottogruppi di un gruppo ciclico sono ciclici, quindi devi trovare tutti i sottogruppi.

Un piccolo aiuto: ogni sottogruppo ciclico è generato da un solo elemento.

Questo è un metodo poco elegante per rispondere, ma cominciamo da questo. Trova tutti i sottogruppi usando quell'aiuto.

[Fabryak95]

Innanzitutto ti ringrazio per la risposta.Forse il mio problema sta proprio nel fatto che non so determinare i sottogruppi

[vict85]

Ci sono \(7\) elementi in \(\mathbb{Z}_7\). Quindi puoi prendere elemento per elemento, considerare tutti i multipli di quell'elemento (fino a che non ha senso fermarsi) ed infine vedere se è un nuovo sottogruppo ed eventualmente depennarlo.

Detto questo è relativamente semplice osservare che ha solo due sottogruppi \(\{0\}\) e \(\mathbb{Z}_7\). E in questo caso l'aiuto è “7 è un numero primo”.

Più di così ti faccio l'esercizio.

[Fabryak95]

Posso considerare il Teorema di Lagrance, secondo cui dato un gruppo ciclico G,i suoi sottogruppi sono quei gruppi H sottoinsieme di G il cui ordine è divisibile per "n", dove "n" è l'ordine di G'??

[vict85]

Quello non è il teorema di lagrange. Il teorema di Lagrange dice che un sottogruppo possiede un ordine che divide l'ordine del gruppo.
Nel caso dei gruppi ciclici vale una sorta di inverso e cioè per ogni divisore esiste un unico sottogruppo di quell'ordine.

[Fabryak95]

Perfetto ti ringrazio.
Ora sto avendo problemi nel risolvere questo tipo di esercizio :
Trovare tutti i generatori di ($Z_13$,+),potresti darmi qualche indicazione su come risolverlo?

[vict85]

Pensa alla funzione \(\phi\) di Eulero. http://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_%CF%86_di_Eulero

Prova a scrivere in equazione (attento che non stai lavorando su anelli) la condizione di non essere generatore.

[Fabryak95]

Quindi i generatori di ($Z_$13,+) sono tutti gli elementi coprimi con 13 ?

[vict85]

Si, ma se non capisci il perché è piuttosto inutile saperlo. Prova a pensarci un po'.