Cardinalità di insiemi

[Angelo]

Io vorrei dimostrare che se $A$ e $B$ sono due insiemi (finiti o infiniti) con $|A|<|B|$, allora l'insieme delle parti di A ha cardinalità minore dell'insieme della parti di B.
Mi sembra ovvio, però ugualmente non riesco a trovare una dimostrazione di questa proprietà.

Inoltre vorrei dimostrare che se $C$ è un insieme (finito o infinito) con $|C|>=2$ e se $A$ e $B$ sono due insiemi infiniti con $|A|<|B|$, allora l'insieme di tutte le funzioni $f :A -> C$ ha cardinalità minore dell'insieme di tutte le funzioni $g: B -> C$.

Potrebbe per favore aiutarmi dandomi dei suggerimenti?
Ringrazio anticipatamente.

[j18eos]

Ricordati il teorema di Hartogs!

[Martino]

Mi sembra che stai chiedendo se \( \displaystyle P(A) \cong P(B) \) implica \( \displaystyle A \cong B \) dove \( \displaystyle A,B \) sono insiemi, \( \displaystyle P(A) \) indica l'insieme delle parti di \( \displaystyle A \) e \( \displaystyle \cong \) indica "equipotente a" cioè "in biiezione con".

Due osservazioni:

1. Con l'ipotesi generalizzata del continuo lo riesci a dimostrare facilmente.
2. Ho paura che senza l'ipotesi generalizzata del continuo non si possa dimostrare.

PS. Armando potresti elaborare? Grazie

[j18eos]

Abozzo l'idea (della prima parte?).

Per le ipotesi \(\displaystyle card(A)<card(B)\) quindi per il teorema di Hartogs deve esistere un'applicazione iniettiva da \(\displaystyle\varphi:A\to B\); a questo punto basta(?) considerare l'applicazione \(\displaystyle\psi:S\in P(A)\to\varphi(S)\in P(B)\).

[Angelo]

Armando, il teorema di Hartogs afferma che le cardinalità di due qualsiasi insiemi sono confrontabili, cioè per due qualsiasi insiemi $A$ e $B$ risulta $|A|<=|B|$ oppure $|A|>=|B|$.

Armando, la tua bozza di dimostrazione serve per provare che $|P(A)|<=|P(B)|$. Io però voglio dimostrare che $|P(A)|!=|P(B)|$.

Inoltre vorrei dimostrare che se $C$ è un insieme (finito o infinito) con $|C| >= 2$ e se $A$ e $B$ sono due insiemi infiniti con $|A|<|B|$, allora l'insieme di tutte le funzioni $f :A -> C$ ha cardinalità minore dell'insieme di tutte le funzioni $g: B -> C$.

[j18eos]

Ma scusa: non ti basta dimostrare che \(\displaystyle card(A)<card(B)\Rightarrow card(P(A))<card(P(B))\)?

[Angelo]

Sì, mi basta, però il "$<$" è da intendersi in senso stretto e quindi dall'ipotesi che $A$ e $B$ non sono equipotenti, vorrei dimostrare che neanche $P(A)$ e $P(B)$ sono equipotenti.

In altre parole $|P(A)|<|P(B)|$ significa che esiste una funzione iniettiva $psi:P(A)->P(B)$ (per esempio quella che tu hai trovato), ma non esiste alcuna funzione biiettiva $phi:P(A)->P(B)$.

[j18eos]

Detta così (in maniera più chiara), ti ha risposto Martino!

[Angelo]

Però Martino non mi ha detto se senza l'ipotesi generalizzata del continuo si possa dimostrare che $|A|<|B|$ $=>$ $|P(A)|<|P(B)|$.

[j18eos]

Non basta l'ipotesi del continuo generalizzata? Cioè: \(\displaystyle |A|<|B|\Rightarrow |P(A)|\leq|B|<|P(B)|\)!