Ci sono \(7\) elementi in \(\mathbb{Z}_7\). Quindi puoi prendere elemento per elemento, considerare tutti i multipli di quell'elemento (fino a che non ha senso fermarsi) ed infine vedere se è un nuovo sottogruppo ed eventualmente depennarlo.
Detto questo è relativamente semplice osservare che ha solo due sottogruppi \(\{0\}\) e \(\mathbb{Z}_7\). E in questo caso l'aiuto è “7 è un numero primo”.
Posso considerare il Teorema di Lagrance, secondo cui dato un gruppo ciclico G,i suoi sottogruppi sono quei gruppi H sottoinsieme di G il cui ordine è divisibile per "n", dove "n" è l'ordine di G'??
Quello non è il teorema di lagrange. Il teorema di Lagrange dice che un sottogruppo possiede un ordine che divide l'ordine del gruppo. Nel caso dei gruppi ciclici vale una sorta di inverso e cioè per ogni divisore esiste un unico sottogruppo di quell'ordine.
Perfetto ti ringrazio. Ora sto avendo problemi nel risolvere questo tipo di esercizio : Trovare tutti i generatori di ($Z_13$,+),potresti darmi qualche indicazione su come risolverlo?