Problema sui gruppi

[marcus112]

Se $G$ è un gruppo nel quale $(ab)^i=a^ib^i$ per tre interi $i $consecutivi per ogni coppia di elementi $a,b in G$, allora $G$ è abeliano.
La conclusione non vale invece se la relazione $(ab)^i=a^ib^i$ sussiste solo per due interi $i$ consecutivi.

Qualcuno mi può aiutare per partire

[Martino]

Vedi qui.

[marcus112]

Mi scuso, ma ho un dubbio:
se prendo in considerazione il gruppo abeliano $G$ formato dalle rotazioni di $0°,90°,180°,270°$ di un quadrato rispetto al suo centro di simmetria (si verifica facilmente che si tratta di un gruppo abeliano)
come faccio a dire che dato $(ab)^i=a^ib^i$ per tre $i$ interi consecutivi allora $G$ è abeliano?
In pratica cosa dovrei verificare?
$(ab)^i=a^ib^i$ per tre $i$ interi consecutivi cioè per esempio
$(ab)^3=a^3b^3$, $(ab)^4=a^4b^4$, $(ab)^5=a^5b^5$
E come arrivare a dire che invece se $( ab)^i=a^ib^i$ per 2 $i$ interi consecutivi allora un gruppo qualsiasi non è abeliano.

[Martino]

E come arrivare a dire che invece se $( ab)^i=a^ib^i$ per 2 $i$ interi consecutivi allora un gruppo qualsiasi non è abeliano.

Se \( \displaystyle G \) è un gruppo non abeliano e finito di ordine \( \displaystyle n \) allora dati \( \displaystyle a,b \in G \) si ha \( \displaystyle (ab)^n = 1 = a^n b^n \) e \( \displaystyle (ab)^{n+1} = ab = a^{n+1} b^{n+1} \) . Quindi due interi consecutivi non bastano per forzare l'abelianità.

Non ho capito l'altra domanda.

[marcus112]

Sto cercando di raggruppare i vari problemi…..che sembrano simili, per provare ad eliminare i dubbi!
Spero di farmi capire!
$1)$ Dimostrare che se $G$ è un gruppo abeliano allora $(ab)^n=a^nb^n$.

$(ab)^n=(a^(−n)b^(−n))^(−1)$

$(a^(−n)b^(−n))(a^(−n))^(−1)(b^(−n))^(−1)=a^(−n)((b^(−n)(b^(−n))^(−1))(a^(−n))^(−1))=a^(−n)(e)(a^(−n))^(−1))=e$

e quindi per definizione di inverso

$(ab)^n=(a^(−n)b^(−n))^(−1)=a^nb^n$
Va bene così ?
Nota: in questo caso non si può attraverso la proprietà $(ab)^n=a^nb^n$ dimostrare la proprietà commutativa: cioè non si può forzare l’abelianità.
Oppure:
per ogni$ n≥2$ vale $a^nb^n=a(a^(n^−1)b)b^(n−1)=(ab)a^(n−1)b^(n−1) $
Quindi $(ab)a^(n−1)b^(n−1)=(ab)^n->(ab)^(n-1)= a^(n−1)b^(n−1)$

$2)$ Dimostrare che se $G$ è un gruppo abeliano allora $(ab)^2=a^2b^2$

Si ha $(ab)^2 = abab$ e $a^2b^2 = aabb$. Poichè per ipotesi $(ab)^2 = a^2b^2$,

segue $abab = aabb$ da cui $a^(-1)(abab)*b^(-1)=a^(-1)(aabb)^(-1)$ e pertanto $ba = ab$ per ogni $a, b in G$.
Facendo così ho fatto vedere che nel gruppo vale la proprietà commutativa.
Nota: in questo caso si può attraverso la proprietà $(ab)^2=a^2b^2$ dimostrare la proprietà commutativa: cioè si ottiene l’abelianità.
Ma mi chiedo: se dimostro che in un gruppo abeliano vale $(ab)^n=a^nb^n$ non dimostro implicitamente che questa proprietà vale per ogni $n$ e quindi anche per $n=2,n=3…$?
$3)$ Se $G$ è un gruppo nel quale $(ab)^i=a^ib^i$ per tre interi $ i$ consecutivi e per ogni coppia di elementi $a, b in G$ allora $G$ è abeliano.
Se poniamo $(ab)^i=P$ la conclusione segue da
$ababP=(ab)^(i+2)=a^(i+2)b^(i+2)=a^2a^ib^ib^2=a^2Pb^2=a^2b^2P$ .Cancellando troviamo $ab=ba$.
Anche questa dimostrazione si basa esclusivamente sul fatto di far vedere che il gruppo gode della proprietà commutativa?
Se io scrivessi $(ab)^(i)=a^(i)b^(i)$ oppure $(ab)^(i+1)=a^(i+1)b^(i+1)$, per due interi consecutivi, non arrivo a dimostrare che il gruppo gode della proprietà commutativa: cioè non si può forzare l’abelianità.
mentre con $(ab)^(i)=a^(i)b^(i)$ , $(ab)^(i+1)=a^(i+1)b^(i+1)$ e infine con $(ab)^(i+2)=a^(i+2)b^(i+2)$,
arrivo a dimostrare che il gruppo gode della proprietà commutativa: $ababP=(ab)^(i+2)=a^(i+2)b^(i+2)=a^2a^ib^ib^2=a^2Pb^2=a^2b^2P $.Cancellando troviamo $ab=ba$,
Ho fatto questo discorso per vedere se ho compreso cosa si intendeva per $3$ interi consecutivi.
Conclusione:
l’abelianità di un gruppo allora dalle precedenti proprietà , naturalmente dimostrandola, si può ottenere solo da $(ab)^(i+2)=a^(i+2)b^(i+2)$ intendendo per tre interi consecutivi solo $n,n+1,n+2$
oppure da $(ab)^2=a^2b^2$?
Grazie per l’aiuto.

[Martino]

Non capisco quasi niente di quello che dici, purtroppo.

$1)$ Dimostrare che se $G$ è un gruppo abeliano allora $(ab)^n=a^nb^n$.

$(ab)^n=(a^(−n)b^(−n))^(−1)$

Come dimostri questo?

Oppure:
per ogni$ n≥2$ vale $a^nb^n=a(a^(n^−1)b)b^(n−1)=(ab)a^(n−1)b^(n−1) $
Quindi $(ab)a^(n−1)b^(n−1)=(ab)^n->(ab)^(n-1)= a^(n−1)b^(n−1)$

L'idea è giusta ma è scritta male. Te l'avevano scritta giusta in un altro post di risposta.

$2)$ Dimostrare che se $G$ è un gruppo abeliano allora $(ab)^2=a^2b^2$

Si ha $(ab)^2 = abab$ e $a^2b^2 = aabb$. Poichè per ipotesi $(ab)^2 = a^2b^2$,

segue \( \displaystyle abab = aabb \) da cui \( \displaystyle a^{-1}(abab) \cdot b^{-1} = a^{-1} (aabb)^{-1} \) e pertanto $ba = ab$ per ogni $a, b in G$.
Facendo così ho fatto vedere che nel gruppo vale la proprietà commutativa.

Questo è giusto, ma hai dimostrato il contrario di quello che dovevi dimostrare. Hai dimostrato che se \( \displaystyle (ab)^2 = a^2b^2 \) per ogni \( \displaystyle a,b \in G \) allora \( \displaystyle G \) è abeliano, mentre dovevi dimostrare il viceversa.

Nota: in questo caso si può attraverso la proprietà $(ab)^2=a^2b^2$ dimostrare la proprietà commutativa: cioè si ottiene l’abelianità.
Ma mi chiedo: se dimostro che in un gruppo abeliano vale $(ab)^n=a^nb^n$ non dimostro implicitamente che questa proprietà vale per ogni $n$ e quindi anche per $n=2,n=3…$?

Non capisco la domanda. Se lo dimostri per ogni n allora lo dimostri per ogni n, certo.

$3)$ Se $G$ è un gruppo nel quale $(ab)^i=a^ib^i$ per tre interi $ i$ consecutivi e per ogni coppia di elementi $a, b in G$ allora $G$ è abeliano.
Se poniamo $(ab)^i=P$ la conclusione segue da
$ababP=(ab)^(i+2)=a^(i+2)b^(i+2)=a^2a^ib^ib^2=a^2Pb^2=a^2b^2P$ .Cancellando troviamo $ab=ba$.
Anche questa dimostrazione si basa esclusivamente sul fatto di far vedere che il gruppo gode della proprietà commutativa?
Se io scrivessi $(ab)^(i)=a^(i)b^(i)$ oppure $(ab)^(i+1)=a^(i+1)b^(i+1)$, per due interi consecutivi, non arrivo a dimostrare che il gruppo gode della proprietà commutativa: cioè non si può forzare l’abelianità.
mentre con $(ab)^(i)=a^(i)b^(i)$ , $(ab)^(i+1)=a^(i+1)b^(i+1)$ e infine con $(ab)^(i+2)=a^(i+2)b^(i+2)$,
arrivo a dimostrare che il gruppo gode della proprietà commutativa: $ababP=(ab)^(i+2)=a^(i+2)b^(i+2)=a^2a^ib^ib^2=a^2Pb^2=a^2b^2P $.Cancellando troviamo $ab=ba$,
Ho fatto questo discorso per vedere se ho compreso cosa si intendeva per $3$ interi consecutivi.
Conclusione:
l’abelianità di un gruppo allora dalle precedenti proprietà , naturalmente dimostrandola, si può ottenere solo da $(ab)^(i+2)=a^(i+2)b^(i+2)$ intendendo per tre interi consecutivi solo $n,n+1,n+2$
oppure da $(ab)^2=a^2b^2$?
Grazie per l’aiuto.

Non so se capisco, comunque il punto è che i tre interi consecutivi sono generici, n, n+1 e n+2, non sono 2,3,4, né 14,15,16, si sa solo che esistono, che hanno quella proprietà e non si sa altro. Non so se ho chiarito i dubbi.

[marcus112]

Ci provo ancora…

$(2)$ Cominciamo dalla tua osservazione riguardante il punto due:
ho dimostrato il contrario, perché dovevo dimostrare questo:
se $G$ è un gruppo tale che $(ab)^2=a^2b^2$ per ogni $a,b in G$, allora $G$ è abeliano.
A questo punto penso che la dimostrazione già fatta è giusta.

$(1)$ Per il problema $(ab)^n=a^nb^n$ provo per induzione:
posto che sia vero ovviamente per $n=1$ proviamo per $n+1$: $(ab)^(n+1)=(ab)^n(ab)=a^nb^nab=(a^na)(b^nb)=a^(n+1)b^(n+1)$
Se poi vogliamo verificarlo anche per $n<0$:
$(ab)^-n=((ab)^n)^(-1)=(a^nb^n)^(-1)=a^(-n)b^(-n)$
$(3)$ Hai centrato quello che volevo dire: all’inizio pensavo che i $3$ numeri consecutivi potevano essere
per esempio $1,2,3$ poi ho capito che la dimostrazione si basa su $n,n+1,n+2$ e più precisamente l’abelianità si forza con $ n+2$
La mia confusione ancora presente deriva dal fatto che se in un gruppo $(ab)^2=a^2b^2$, quindi $n=2$, il gruppo è abeliano… perché devo pensare ai tre interi consecutivi ?

[Martino]

La mia confusione ancora presente deriva dal fatto che se in un gruppo $(ab)^2=a^2b^2$, quindi $n=2$, il gruppo è abeliano… perché devo pensare ai tre interi consecutivi ?

Prova a dimostrare a mano il seguente fatto (vero): se in un gruppo vale \( \displaystyle (ab)^{14} = a^{14}b^{14} \) , \( \displaystyle (ab)^{15} = a^{15}b^{15} \) e \( \displaystyle (ab)^{16} = a^{16} b^{16} \) per ogni \( \displaystyle a,b \) allora il gruppo è commutativo.

[marcus112]

Scusami Martino….ma voglio eliminare ogni dubbio: quando dici giustamente
prova a dimostrare a mano il seguente fatto (vero): se in un gruppo vale $(ab)^14=a^14b^14, (ab)^15=a^15b^15 e (ab)^16=a^16b^16$ per ogni $a,b$ allora il gruppo è commutativo, intendi che la cosa oltre ad essere noiosa se il gruppo è infinito risulta impossibile dimostrare che esso è commutativo….per cui si deve per forza procedere con $n,n+1,(n+1)+1=n+2$.
Osservazione: con un gruppo finito per esempio di $4$ elementi ci si riuscirebbe anche, ma la cosa ha comunque algebricamente poco senso.

[Martino]

Non capisco cosa dici.

Il fatto che se quella proprietà vale per tre interi consecutivi allora il gruppo è abeliano vale indipendentemente da quali sono i tre interi consecutivi e indipendentemente dalla finitezza di G (che può anche essere infinito). Vale per tutte le terne di interi consecutivi, quindi non solo per 1, 2, 3 e 2, 3, 4, anche per 14, 15, 16 (come dicevo) e anche per 632, 633, 634. Non ho detto che è noiosa, cerco di farti capire che se i tre interi consecutivi sono 2,3,4 allora è facile da dimostrare che G è commutativo, ma se sono 14,15,16 è meno facile.