problema su numeri primi

[blabla]

nel mezzo di una dimostrazione ho trovato la seguente frase:

"Supponiamo che $p^2-q^2$,$2pq$,$P^2+q^2$ siano primi tra loro. Allora anche $p,q$ sono primi tra loro e $p^2-q^2$,$P^2+q^2$ sono dispari. Da ciò ho anche che $pq$, $p-q$ e $p+q$ sono primi tra loro."

Io non riesco a capire l'ultima affermazione, o forse c'è qualche teorema che mi sfugge su tale fatto.
Grazie mille in anticipo per l'aiuto

[vict85]

Non c'è un teorema specifico. Si trattano solo di alcune considerazioni sui divisori. In particolare la somma e la sottrazione, essendo i due valori coprimi, sono coprimi con entrambi e quindi con il loro prodotto. Inoltre la differenza tra di loro è 2 volte il secondo valore e pertanto possono avere come fattore comune solo 1 o 2. L'eliminazione del secondo caso immagino non sia difficile.