omomorfismo di gruppi

[fegem]

Buonasera ragazzi ho seri problemi con gli omomorfismi e l'esame è alle porte. Seri problemi, in particolare, quando mi viene chiesto di calcolare tutti gli omomorfismi da un gruppo a un altro o quando mi viene chiesto di classificare un gruppo a meno di isomorfismi.
In un esercizio mi viene richiesto quanto segue:
CALCOLARE TUTTI GLI OMOMORFISMI DI GRUPPI DEL TIPO $ZZ4$ $\rightarrow$ H
dove H= {$((1,b),(0,c))$ , con c $!=$ 0}.
Ho lavorato come segue:
Z4 ha ordine 4 per cui possibili sottogruppi avranno ordine un divisore di 4: quindi 1, 2, 4.
Dato che H ha ordine 6, sicuramente non posso avere omomorfismo ingettivo, escludo quindi la possibilità che il nucleo sia ridotto ad un solo elemento.
Se il nucleo fosse uguale a Z4 avrei omomorfismo banale e questo c'è sempre.
Resta da considerare la possibilità in cui il nucleo abbia ordine 2.
A questo punto mi sono bloccato.
Help me

[Steven]

Specifica meglio chi e' $H$. I numeri $b$ e $c$ stanno in $ZZ_3$?

[fegem]

Si, scusami. b,c sono in $ZZ3$

[fegem]

Dato il sottogruppo di Borel, B2(Z3), H per me è il sottogruppo stabilizzatore del vettore v=[1,0], l'ho trovato svolgendo la prima parte dell'esercizio.

[Steven]

Se hai realizzato che il nucleo ha ordine due o quattro, hai quasi finito. Due domande:
$H$ ha ordine $6$ e non e' abeliano. A chi e' isomorfo?
Chi e' il sottogruppo di ordine due in $ZZ_4$?

[fegem]

Se H ha ordine 6 e non è abeliano potrebbe essere isomorfo a $S3$.
Il sottogruppo di ordine due in $ZZ4$ è il sottogruppo generato da 2

[fegem]

Può essere che ammetta solo omomorfismo banale dato che $ZZ4$ ha due elementi di periodo 4 mentre $S3$ ha tre sottogruppi di ordine 2 e un sottogruppo di ordine 3? O sto dicendo una sciocchezza?
Grazie per l'aiuto!

[Steven]

E' proprio isomorfo ad $S_3$, l'unico gruppo non abeliano di ordine $6$ a meno di isomorfismi.

Quello che dici dopo non e' giusto, un elemento di periodo quattro puo' andare benissimo in uno di periodo due.
Ora, $ZZ_4$ e' ciclico, quindi ti basta controllare dove va il generatore $1$, visto che poi tutti gli altri restano definiti dalla proprieta' di omomorfismo. In $S_3$ ci sono elementi di ordine $1$, $2$ e $3$.
Se $1$ va nell'identita', hai l'omomorfismo banale. Poi puo' andare in uno qualsiasi dei tre elementi di ordine $2$, e quindi hai tre mappe distinte, e hai finito, perche' non puo' andare in elementi di ordine tre (il periodo dell'immagine deve dividere il periodo dell'elemento di partenza, ovvero $4$).

Essendo $S_3$ isomorfo ad $H$, hai finito, perche' il numero di omomorfismi coincide. Ti torna?

[fegem]

"il periodo dell'immagine deve dividere il periodo dell'elemento di partenza" - questo l'avevo dimenticato!
A quanto pare non avevo capito nulla! Proviamo ora:
Quindi, se non ho capito male, a me basta lavorare sul generatore 1 del gruppo di partenza (perchè in questo caso il gruppo è ciclico) e trovare una sua qualunque immagine purché sia un elemento del gruppo di arrivo il cui periodo sia un divisore dell'ordine del generatore.
Non mi importa che ogni elemento del gruppo di arrivo sia immagine di un elemento del gruppo di partenza (altrimenti avrei un epimorfismo, correggimi se sbaglio)
Per cui ho tre omomorfismi distinti che sono quelli che mandano il generatore 1 nell'elemento di periodo 2 si S3 che è isomorfo ad H.
Se è cosi, sei stato davvero illuminante!

[Steven]

Sì, tutto giusto.
(ma gli omomorfismi sono quattro, devi contare anche quello banale che manda tutto nell'identità di $H$).

Ciao!