Omomorfismi di gruppi

[LucaSanta93]

Salve a tutti!
Svolgendo vecchi esercizi di algebra ho trovato qualche problema per quanto riguarda gli omomorfismi di gruppi; allora l'esercizio mi chiede di trovare tutti gli omomorfismi tra $D_5$ e $ZZ_10$; ora so che $ZZ_10$ possiede 4 elementi di ordine $10$, quelli coprimi con $10$, 4 elementi di ordine $5$ e un solo elemento di ordine $2$, invece in $D_5$, oltre l'identità ci sono le 4 rotazioni che hanno ordine $5$ e le 5 simmetrie che hanno ordine $2$.
Detto $\varphi$ tale omomorfismo inoltre, so che l'ordine di $\varphi(n)$ deve dividere $n$; ora però non riesco a capire come mettere insieme il tutto e collegare tutte queste cose.
Spero in qualche chiarimento, grazie in anticipo per l'aiuto!

[Steven]

Ogni omomorfismo $\phi : D_5 \to ZZ_10 $ ha certamente nucleo non banale, altrimenti la mappa sarebbe iniettiva, e giacche' i due gruppi hanno stessa cardinalita' sarebbe un isomorfismo, ma i due gruppi non sono certamente isomorfi.

Quindi ti conviene ragionare sul nucleo, che e' un sottogruppo normale. Quanti sottogruppi normali conosci di $D_5$?

[Gorbad]

Poi essendo $ZZ10$ abeliano, che sottogruppo sicuramente contiene il kerf?

[LucaSanta93]

I gruppi normali di $D_5$ sono quelli generati dalle rotazioni; inoltre le rotazioni hanno ordine $5$, quindi gli omomorfismi sono quelli che mandano una rotazione in un elemento di $Z_10$ di ordine $5$, che sono i numeri pari minori di $10$. Giusto?

[Steven]

I gruppi normali di $D_5$ sono quelli generati dalle rotazioni

Insomma, sii piu' preciso. Intanto sono sottogruppi normali, e poi in $D_5$ ce ne e' uno solo, generato appunto da una qualiasi rotazione.

Il tuo discorso non va, se rileggi il mio commento iniziale vedi che il sottogruppo normale serve per identificare il nucleo. Quindi le rotazioni vanno tutte dritte nell'identita' di $ZZ_10$. Ora, per individuare gli altri omomorfismi non banali, cioe' quelli dove il nucleo non e' tutto, devi decidere dove puoi mappare la riflessione $\sigma$, considerando che ha ordine $2$. Direi che puoi mapparla in un elemento di ordine due di $ZZ_10$, che puoi trovare facilmente.