V. Manca in Logica matematica ha scritto:Consideriamo il modello \(\mathscr{R}\) dei numeri reali e sia \(\text{Th}(\mathscr{R})\) la teoria delle proposizioni che valgono in tale modello. Aggiungiamo a tale teoria l'insieme infinito di proposizioni \(\Phi=\{\exists x(nx\le 1)|n\in\omega\}\). Il modello \(\mathscr{R}\) non soddisfa $\Phi$, tuttavia, per ogni naturale non nullo $m$, \(\mathscr{R}\) soddisfa \(\{\exists x(nx\le 1)|n\le m\}\). Quindi, per il teorema di compattezza, \(\text{Th}(\mathscr{R})\cup\Phi\) ha un modello.
Se ogni sottoinsieme finito di $\Phi$ è della forma \(\{\exists x(nx\le 1)|n\le m\}\), mi è chiaro come il teorema di compattezza implichi che \(\text{Th}(\mathscr{R})\cup\Phi\) ha un modello.
Ciò che non mi è chiaro è che cosa siano esattamente \(\{\exists x(nx\le 1)|n\le m\}\) e \(\{\exists x(nx\le 1)|n\in\omega\}\). Infatti suppongo che $\omega$ non sia altro che $\mathbb{N}$ con il buon ordinamento definito dall'usuale \(\le\) e intepreterei quindi \(\{\exists x(nx\le 1)|n\in\omega\}\) come \(\{\exists x(x\le 1), \exists x(2x\le 1),\exists x(3x\le 1),...\}\), ma a me sembra che quest'ultimo sottoinsieme appartenga decisamente alla teoria dei numeri reali, a differenza di quanto afferma il testo per \(\Phi\).
Che cosa mi sfugge?
$\infty$ grazie a tutti!!!
