Algebra booleana

[humblebee]

Salve a tutti, sono nuovo e quindi colgo l'occasione per presentarmi, sono uno studente di Ingegneria Elettronica al primo anno.

Mi sono iscritto perchè mi sono imbattuto in un problema nella formalizzazione matematica dell'algebra di Boole.
Per quello che ho capito (siate gentili, non ho mai studiato algebra astratta) l'algebra booleana può essere definita come un insieme G tale che:

- sussiste una relazione d'ordine e ogni coppia di elementi ammette l'esistenza di supremo e infimo, cioè G è un reticolo;
- in esso sono definite due operazioni binarie interne, somma logica (OR // +) e prodotto logico (AND // *);
- valgono le proprietà:
# commutativa di somma e prodotto;
# associativa di somma e prodotto;
# distributiva della somma rispetto al prodotto e viceversa;
# di assorbimento rispetto a somma e prodotto;
# di idempotenza di somma e prodotto;
# di esistenza di massimo e minimo;
# di esistenza del complemento.

In particolare se le prime cinque proprietà devonono valere per ogni x,y,z appartenenti a (G,+,*), nelle ultime due sono introdotti gli elementi 0 e 1; dato x appartenente a (G,+,*) si ha infatti

a*0=0 a+1=1

per l'esistenza di massimo e minimo e

a*(!a)=0 a+(!a)=1

per l'esistenza del complemento, da cui si deduce poi la qualifica di 0 e 1 quali elementi neutri rispettivamente di somma e prodotto.
Si determinano poi le proprietà di convoluzione e dualità.

Quello che non ho capito è:

1) come sono definiti 0 e 1? Sono introdotti insieme alle operazioni di somma e prodotto logico in quanto valori di verità delle variabili booleane con cui questi operano?
2) come si introduce che 0<1? Cioè che nel gruppo (G,<=) vale 0<=1 e 0!=1?

Sono andato a rivedere i miei appunti di analisi 1 e ho visto che, nella sezione in cui si trattavano i gruppi commutativi e i campi, erano definiti negli assiomi della somma e del prodotto rispettivamente l'esistenza dell'elemento 0 e dell'unità; proseguendo v'era una proposizione che riportava:

Sia K un campo ordinato. Allora

i) x^2 >= 0 per ogni x appartenente a K,
ii) 1>0.

Dopo aver dimostrato la prima, la seconda era dimostrata così:

1=1^2 e 1^2 >= 0 e 1!=0 => 1>0



Vi ringrazio in anticipo per il tempo speso per arrivare fin qui! Se poteste darmi qualche accenno sulle strutture algebriche e l'algebra astratta non mi dispiacerebbe affatto, oppure se riusciste a consigliarmi qualche manuale o guida (magari anche gratuita da scaricare!) non fareste che ottenere il mio riconoscimento. Grazie ancora

[vict85]

I valori di 0 e 1 sono elementi dell'insieme che soddisfano quelle proprietà. Insomma tu supponi che esistano elementi di questo tipo.

[humblebee]

Ora ho capito, grazie mille.