Lovaticss ha scritto:ancora non ho ben capito la parte "paterna"
L'insieme $U$ di tutti gli uomini non permette di costruire un quoziente finito, quindi, giusto per fare un esempio completamente esplicito, prendiamo, per esempio, l'insieme $C$ di tutti i bambini della prima A di una certa scuola. Supponiamo che siano dieci, diciamo $B_1,...,B_{10}$, dove nessuno è fratello né fratellastro dell'altro, tranne $B_2$ e $B_5$ che sono fratelli da parte di madre e padre, $B_3$ e $B_7$ che sono pure fratelli di madre e padre e $B_9$ che ha lo stesso papà, ma una mamma diversa di $B_3$ e $B_7$. Data la relazione $R$ che associa chi ha lo stesso padre, l'insieme quoziente \(C_{/R}\) è \[ \{ \{B_1\},\{B_2, B_5\},\{ B_3, B_7, B_9\},\{B_4\},\{B_6\},\{B_8\},\{B_{10}\} \} \]
Se poi volessi usare una notazione più compatta, si potrebbe indicare ogni classe con uno dei suoi rappresentanti, magari con una barretta sopra (com'è consuetudine in casi come le classi di resto):\[C_{/R}=\{\bar{B}_1,\bar{B}_2,\bar{B}_3,\bar{B}_4,\bar{B}_6,\bar{B}_8\bar{B}_{10} \}\]visto che abbiamo
identificato $B_2$ e $B_5$ "come se fossero" uno solo, e lo stesso per $B_3, B_7, B_9$?
Lovaticss ha scritto:Riguardo invece l'ultima cosa che hai scritto, dove rispondevi a quello che dicevo, cioè che aRb se e solo se a per b =0, non ho capito questo
Se "
aRb se e solo se a per b =0" significa che $aRb$ se e solo se $ab=0$, $R$ non è transitiva perché, per esempio, $1R0$, cioè \(1\cdot 0=0\), $0R2$, cioè \(0\cdot 2=0\), ma non vale che \(1R2\), perché \(1\cdot 2\ne 0\).
Lovaticss ha scritto:Primo esercizio: In Z x Z* (x1, x2) R(y1, y2) se e solo se x1y2=x2y1
Domanda: che cosa vuole intendere Z x Z* ?
È il prodotto cartesiano \(\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}^{\star}\), dove supporrei che \(\mathbb{Z}^{\star}=\mathbb{Z}\setminus\{0\}\), cioè l'insieme delle coppie ordinate \((x,y)\) dove $x$ appartiene all'insieme degli interi $\mathbb{Z}$ e $y$ a quello \(\mathbb{Z}\setminus\{0\}\) degli interi tolto lo $0$. Mi sa tanto che dovresti leggerti con attenzione le pagine del testo che utilizzi riguardanti le notazioni di queste cose...
Questa relazione $R$ è chiaramente riflessiva, infatti, per ogni \(a=(x_1,x_2)\in\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}\setminus\{0\}\) (nota bene, $R$ mette in relazione due elementi di un insieme, che possono benissimo non essere numeri, ma coppie di numeri, persone come sopra, terne di numeri...), vale $aRa$, cioè \((x_1,x_2)R(x_1,x_2)\), cioè $x_1 x_2=x_2 x_1$. È simmetrica perché se \((x_1,x_2)R(y_1,y_2)\), cioè $x_1 y_2=x_2 y_1$, allora \((y_1,y_2)R(x_1,x_2)\), cioè $y_1 x_2=y_2 x_1$. È transitiva perché se \((x_1,x_2)R(y_1,y_2)\), cioè $x_1 y_2=x_2 y_1$, e \((y_1,y_2)R(z_1,z_2)\), cioè $y_1 z_2=y_2 z_1$, allora \((x_1,x_2)R(z_1,z_2)\), cioè $x_1 z_2=x_2 z_1$, cosa che vedi notando che $y_1=z_2^{-1} y_2 z_1$, perciò, sostituendo in $x_1 y_2=x_2 y_1$, vedi che $x_1 y_2=x_2 z_2^{-1} y_2 z_1 $, che vale banalmente per $y_2=0$, e dove puoi dividere entrambi i membri per $y_2$ se questo è diverso da $0$. Non è antisimmetrica perché, se valessero contemporaneamente la proprietà simmetrica e quella antisimmetrica in un qualunque insieme, significherebbe che esso possiede al massimo un elemento, cosa che ovviamente non vale per l'insieme infinito \(\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}^{\star}\).
Lovaticss ha scritto:Secondo esercizio: In R2 (insieme dei numeri reali al quadrato), (x1, x2) R (y1, y2) se e solo se x2-y2=2 (x1-y1)
Domanda: che cosa significa l'insieme dei numeri reali al quadrato?
È il prodotto cartesiano di $\mathbb{R}$ per se stesso, cioè l'insieme delle coppie ordinate di numeri reali.
Dati $n$ insiemi $X_1,...,X_n$, il prodotto cartesiano $X_1\times ...\times X_n$ è l'insieme delle $n$-uple, delle sequenze ordinate \((x_1,...,x_n)\) tali che $x_1\in X_1,...,x_n\in X_n$.
Questa relazione è ovviamente riflessiva, infatti, per ogni coppia \((x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2\) vale che \(x_2-x_2=0=2(x_1-x_1)\). È simmetrica perché, per ogni \((x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2\) e \((y_1,y_2)\in\mathbb{R}^2\), se \(x_2-y_2=0=2(x_1-y_1)\) allora \(y_2-x_2=0=2(y_1-x_1)\), ed è transitiva perché vale sempre che se \(x_2-y_2=0=2(x_1-y_1)\) e \(y_2-z_2=0=2(y_1-z_1)\), come vedi sommando a due a due i membri di queste uguaglianze, vale anche che \(x_2-z_2=0=2 x_1-2 z_1\).
"Le dimostrazioni rendono bella la matematica e danno significato alla vita di un matematico" Choe Jaigyoung