Relazioni simmetriche/antisimmetriche

[Lovaticss]

Buona sera, sono una nuova iscritta e non sono molto pratica nel forum. Pertanto se ho sbagliato a fare qualcosa chiedo scusa. Prima di aprire un nuovo argomento, naturalmente ho cercato già tra gli argomenti trattati e non sono riuscita a trovare una risposta che sia sufficientemente completa per togliermi ogni dubbio.
Allora, sono al primo anno di università e stiamo affrontando gli insiemi, ma non ho ben capito le relazioni. Le relazioni che ho capito sono: riflessiva e transitiva. Invece, quelle che non capisco sono: simmetrica e antisimmetrica. Cercando su internet ho visto risposte varie e molte volte anche contraddittorie tra di loro.
Quello che ho capito della simmetrica è che: se aRb allora bRa, ma a e b devono essere uguali o diversi?

Per quanto riguarda le relazioni antisimmetriche, la regola dice che: se aRb e bRa, allora a=b. Quindi da questa regola so che a deve essere sempre uguale a b per essere antisimmetrica, giusto? Ma ho visto che in rete c'è anche scritto che: se a è diverso da b, allora aRb e b non è in relazione con a. Appena ho visto quest'ultima mi sono confusa. Potreste chiarirmi le idee?

Ho provato a fare un esercizio. Questo:
- nell'insieme dei numeri reali, aRb se e solo se x al quadrato = y al quadrato. Devo dire a quale proprietà soddisfa.
E devo anche rispondere se una relazione può essere "contemporaneamente" simmetrica e antisimmetrica. Se potreste farmi degli esempi ne sarei grata.

Ps.: scusate per la mancanza dei simboli, ma non sono riuscita a digitarli. Spero di imparare al più presto.
Grazie a tutti e buona serata.

[DavideGenova]

Quello che ho capito della simmetrica è che: se aRb allora bRa, ma a e b devono essere uguali o diversi?

Una relazione $R$ è simmetrica quando, per ogni $a$ e $b$, se $aRb$ allora $bRa$. Nella classe, o insieme, in cui la relazione $R$ è definita, quindi (a meno che non contenga un solo elemento) $a$ e $b$ possono benissimo essere distinti.

Per quanto riguarda le relazioni antisimmetriche, la regola dice che: se aRb e bRa, allora a=b. Quindi da questa regola so che a deve essere sempre uguale a b per essere antisimmetrica, giusto?

Sì, nel senso che $R$ è simmetrica quando, per ogni $a$ e $b$, se $aRb$ e $bRa$ allora $a=b$: \[\forall a,b\quad(aRb\land bRa\Rightarrow a=b)\].
Un tipico esempio di relazione simmetrica è quella di \(\leq\) definita sui numeri reali, o naturali.

Ma ho visto che in rete c'è anche scritto che: se a è diverso da b, allora aRb e b non è in relazione con a. Appena ho visto quest'ultima mi sono confusa.

Se $R$ è antisimmetrica si ha piuttosto che, se \(a\ne b\) allora o $a$ non è in relazione con $b$ o $b$ non è in relazione con $a$, infatti \(aRb\land bRa\Rightarrow a=b\) è lo stesso di \(a\ne b\Rightarrow \lnot aRb\lor\lnot bRa\), cioè se \(a\ne b\) allora o non vale $aRb$ o non vale $bRa$.

Ho provato a fare un esercizio. Questo:
- nell'insieme dei numeri reali, aRb se e solo se x al quadrato = y al quadrato. Devo dire a quale proprietà soddisfa.

Data la relazione \(xRy=_{\text{def}} x^2=y^2\), si vede subito che è riflessiva, infatti \(xRx\iff x^2=x^2\) e vale proprio che $x^2=x^2$. È transitiva perché, se $x^2=y^2$ e $y^2=z^2$, allora $x^2=z^2$. È simmetrica, infatti se \(x^2=y^2\) allora \(y^2=x^2\). Non è però antisimmetrica (se definita sui reali o sui complessi, mentre lo sarebbe su $\mathbb{N}$), perché se $x^2=y^2$ e $y^2=x^2$ non è detto che $x=y$ (infatti $(-x_0)^2=x_0^2$).

E devo anche rispondere se una relazione può essere "contemporaneamente" simmetrica e antisimmetrica.

Esempio scemo: la relazione $=$ definita su un insieme qualunque.
Ciao!

[Lovaticss]

Grazie per l'immediata risposta, davvero gentilissimo e molto utile. Sei stato molto chiaro nelle tue risposte, grazie. Ma ora andando avanti con il programma mi sono sorti ulteriori dubbi; cioè: che cosa sono le classi di equivalenza e l'insieme quoziente?. In generale, ho capito che le classi di equivalenza sono dei sottoinsiemi ulteriori delle classi di equivalenza e l'insieme quoziente, come dire, è l'insieme delle classi di equivalenza. Ma, quando mi trovo un esercizio davanti non so proprio come dovrei muovermi. Ad esempio nell'esercizio che ti ho riportato cioè: nell'insieme dei numeri reali, aRb se e solo se x alla seconda= y alla seconda, ho capito le proprietà che soddisfano tale relazione, ma non so definire le classi o l'insieme quoziente stesso. Oppure, un altro esempio: Data una relazione U= ( x:x uomo), aRb se e solo se a e b hanno lo stesso padre. So perfettamente che tale relazione soddisfa la proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva, ma non so definire le classi e l'insieme quoziente.
Potresti chiarirmi questi concetti con l'aiuto anche di qualche esempio?

Ancora grazie per le spiegazioni cosi chiare delle proprietà.
Buona giornata.

[DavideGenova]

ho capito che le classi di equivalenza sono dei sottoinsiemi ulteriori

Le classi di equivalenza hanno come elementi tutti e soli gli elementi dell'insieme, su cui è definita la relazione $R$ riflessiva, transitiva e simmetrica (cioè un'equivalenza), relazionati l'un l'altro attraverso $R$.

nell'insieme dei numeri reali, aRb se e solo se x alla seconda= y alla seconda, ho capito le proprietà che soddisfano tale relazione $R$, ma non so definire le classi o l'insieme quoziente stesso.

Presa questa relazione di equivalenza, l'insieme quoziente \(\mathbb{R}_{/R}\) è l'insieme delle classi di equivalenza in ciascuna delle quali stanno precisamente gli elementi che hanno lo stesso quadrato e due numeri reali hanno lo stesso quadrato se e solo se sono uguali oppure uno è l'opposto dell'altro, perciò ogni elemento di \(\mathbb{R}_{/R}\) è della forma \(\{x,-x\}\).

Data una relazione U= ( x:x uomo), aRb se e solo se a e b hanno lo stesso padre. So perfettamente che tale relazione soddisfa la proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva, ma non so definire le classi e l'insieme quoziente.

\(U_{/R}\) è stavolta l'insieme degli insiemi di fratelli da parte paterna.

Nota che molto spesso si prende poi un rappresentante della classe per indicarla, così che, per il primo esempio, la classe \(\{x,-x\}\), si potrebbe deciderla di indicarla con una notazione tipo \(\bar{x}\) scegliendo uno dei due elementi (magari sempre quello non negativo).
In effetti puoi pensare un insieme quoziente come "ciò che resta" di un insieme quando "identifichi" tra loro, quando tratti come se fossero uguali tra loro raggruppandoli in una classe di equivalenza, gli elementi equivalenti secondo la relazione $R$ data.

Altri esempi molto comuni di insiemi quozienti sono le classi di resto modulo un dato numero intero.

[Lovaticss]

Buona sera, grazie mille per le spiegazioni molto chiare.. il tutto mi è stato molto utile per fare delle esercitazioni, anche se comunque ancora devo ingranare un po'...mi è un po' difficile ancora.. la spiegazione dell'insieme dei numeri reali credo di averla capita, ma non ho capito quell'altra relazione che ho presentato precedentemente, cioè: Data una relazione U=( x:x uomo) aRb se e solo se a e b hanno lo stesso padre. Perché come risposta hai dato l'insieme dell'insieme dei fratelli da parte paterna? in base a che cosa deduci questo? io pensavo che dato che la legge è il padre cioè che a e b hanno lo stesso padre, pensavo i diversi tipi di padri, non so padri giovani, anziani.. diverse categorie di padri, ma restando comunque nel concetto di "padre". Potresti spiegarmi questo concetto qui, grazie mille.. Andando avanti nella lettura non ho capito la frase che hai scritto cioè: " In effetti puoi pensare un insieme quoziente come "ciò che resta" di un insieme quando "identifichi" tra loro, quando tratti come se fossero uguali tra loro raggruppandoli in una classe di equivalenza, gli elementi equivalenti secondo la relazione R data" . Potresti dirmi a che cosa ti riferivi, grazie? c'è un altro dubbio che mi è sorto, e te ne sarei grata se me lo chiarissi, l'operazione minore e uguale o maggiore e uguale è riflessiva, non simmetrica, antisimmetrica, ma è transitiva? io credo di si, ma vorrei essere sicura. Avendo questo esempio: aRb se e solo se a-b è minore e uguale a 1. Io ho verificato questa relazione ponendo ad esempio ad a=4 b=3 c=2 e facendo 4R3 e 3R2 allora 4R2 ho visto che non è transitiva, ma lo è quando ad esempio io pongo a=2 b=2 e c =1 2R2 e 1R2 allora 2R1 ..però è in base sempre a che valori metto... il mio dubbio è quando devo provare quale relazione soddisfa una legge devo fare esempi con i numeri o tutto in modo astratto facendo invece se aRb e bRa allora aRc? perché in base ai numeri che io dispongo si hanno cose diverse.. Un' altra situazione uguale è stata ad esempio la relazione : aRb se e solo se a per b =0 .. E' riflessiva se pongo a=0 e b=0 perché 0 per 0 è sempre uguale a 0, ma se pongo ad a=4 e b=4 non è cosi...cosi anche per le altre proprietà.. puoi chiarirmi questi concetti? perché sono un po' confusa. Cioè quando devo provare un qualcosa lo faccio in generale, in modo astratto o attraverso numeri?
mi scuso ancora per i simboli non inseriti, ma sono alle prime armi... mi scuso delle mille domande che ti faccio.. ma sono ancora al 1 anno e sono un po' sbandata.. spero che potrai chiarirmi le idee..

grazie mille in anticipo.

buona serata e grazie ancora...

[DavideGenova]

Data una relazione U=( x:x uomo) aRb se e solo se a e b hanno lo stesso padre. Perché come risposta hai dato l'insieme dell'insieme dei fratelli da parte paterna? in base a che cosa deduci questo? io pensavo che dato che la legge è il padre cioè che a e b hanno lo stesso padre, pensavo i diversi tipi di padri, non so padri giovani, anziani.. diverse categorie di padri, ma restando comunque nel concetto di "padre".

No, no, i vari attributi che si possono predicare degli elementi di \(U\) estranei alla relazione $R$ sono del tutto irrilevanti alla definizione della classi di equivalenza. Ogni classe di equivalenza non è altro che un insieme, diciamo $\chi$, di elementi di $U$ tali che tutti gli elementi di $\chi$ sono legati dalla relazione $R$, cioè tali che \(\forall x,y\in\chi\quad xRy\), con l'ulteriore richiesta che $\chi$ deve contenere tutti gli elementi in relazione $R$ con uno degli elementi che contiene (essere in relazione $R$ di equivalenza con un elemento di tale classe implica esserlo con tutti, ovviamente, data la transitività).

In effetti puoi pensare un insieme quoziente come "ciò che resta" di un insieme quando "identifichi" tra loro, quando tratti come se fossero uguali tra loro raggruppandoli in una classe di equivalenza, gli elementi equivalenti secondo la relazione R data" . Potresti dirmi a che cosa ti riferivi, grazie?

Ad esempio, per l'\(U_{/R}\) di sopra, prendi $U$ e metti insieme tutti quelli che hanno lo stesso padre Aldo in una classe, tutti quelli che ne hanno lo stesso padre Berto in un'altra e così via. Ora, di ogni classe puoi prendere un tizio come rappresentante: un figlio di Aldo, un figlio di Berto, ecc. Considerare l'insieme quoziente delle classi di persone che condividono il padre è "assimilabile" a considerare l'insieme dei tizi che hai preso come rappresentanti dei gruppi di fratelli da parte paterna.

minore e uguale o maggiore e uguale è riflessiva, non simmetrica, antisimmetrica, ma è transitiva? io credo di si, ma vorrei essere sicura.

Tuttavia, devi verificarlo per il caso generale, non per un po' di numeri scelti. $R$ è transitiva quando, per ogni terna $a,b,c$, se $aRb$ e $bRc$ allora $aRc$.

facendo 4R3 e 3R2 allora 4R2 ho visto che non è transitiva

Hai trovato appunto un controesempio alla transitività: non è vero che che, per ogni terna $abc$, se $aRb$ e $bRc$ allora $aRc$. A volte, per provare che non vale una certa proprietà, se ne può costruire un controesempio esplicitamente.

Un' altra situazione uguale è stata ad esempio la relazione : aRb se e solo se a per b =0 .. E' riflessiva

Mi sembra di capire che $R$ è definita da \(aRb\iff ab=0\), giusto?
In tal caso non è riflessiva perché non per tutti i numeri reali vale che $aa=0$, valendo questo solo per lo $0$. È simmetrica per la commutatività della moltiplicazione: se $ab=0$, anche $ba=0$. Non è antisimmetrica perché non è ovviamente vero che ogni volta che si ha $ab=0$ e $ba=0$ valga che $a=b$: $2R0$ e $0R2$ perché $2\cdot 0=0=0\cdot 2$, ma \(2\ne 0\), e non è transitiva perché se $ab=0$ e $bc=0$, non significa certo che $ac=0$ (basta prendere \(a\ne c,b=0\)).

[Lovaticss]

Ciao e grazie ancora per la pazienza e per le spiegazioni.
Ho capito più o meno il discorso, anche se non è molto facile. Anche se a dire il vero ancora non ho ben capito la parte "paterna"
Riguardo invece l'ultima cosa che hai scritto, dove rispondevi a quello che dicevo, cioè che aRb se e solo se a per b =0, non ho capito questo:

...non è transitiva perché se ab=0 e bc=0, non significa certo che ac=0 (basta prendere a≠c,b=0)

...perché, se prendo ab=0 e bc=0 e ac=1, facendo 0R0 e 0R1, allora 0R1. Quindi da questo è transitiva, giusto? Non capisco perché non lo è, mi sento confusa...

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Un' altra cosa: sto provando a fare altri esercizi per comprendere meglio le proprietà e in due esercizi non ho capito le leggi, cioè in uno dice:

Primo esercizio: In Z x Z* (x1, x2) R(y1, y2) se e solo se x1y2=x2y1
Domanda: che cosa vuole intendere Z x Z* ?

Secondo esercizio: In R2 (insieme dei numeri reali al quadrato), (x1, x2) R (y1, y2) se e solo se x2-y2=2 (x1-y1)
Domanda: che cosa significa l'insieme dei numeri reali al quadrato?
Come dovrei procedere di risolvere questi esercizi con queste leggi? (non le avevo mai incontrate prima d'ora).
Scusate comunque per i simboli, dopo leggo il regolamento per imparare ad usare le formule in modo corretto.
Grazie mille in anticipo e buona serata.

[DavideGenova]

ancora non ho ben capito la parte "paterna"

L'insieme $U$ di tutti gli uomini non permette di costruire un quoziente finito, quindi, giusto per fare un esempio completamente esplicito, prendiamo, per esempio, l'insieme $C$ di tutti i bambini della prima A di una certa scuola. Supponiamo che siano dieci, diciamo $B_1,...,B_{10}$, dove nessuno è fratello né fratellastro dell'altro, tranne $B_2$ e $B_5$ che sono fratelli da parte di madre e padre, $B_3$ e $B_7$ che sono pure fratelli di madre e padre e $B_9$ che ha lo stesso papà, ma una mamma diversa di $B_3$ e $B_7$. Data la relazione $R$ che associa chi ha lo stesso padre, l'insieme quoziente \(C_{/R}\) è \[ \{ \{B_1\},\{B_2, B_5\},\{ B_3, B_7, B_9\},\{B_4\},\{B_6\},\{B_8\},\{B_{10}\} \} \]
Se poi volessi usare una notazione più compatta, si potrebbe indicare ogni classe con uno dei suoi rappresentanti, magari con una barretta sopra (com'è consuetudine in casi come le classi di resto):\[C_{/R}=\{\bar{B}_1,\bar{B}_2,\bar{B}_3,\bar{B}_4,\bar{B}_6,\bar{B}_8\bar{B}_{10} \}\]visto che abbiamo identificato $B_2$ e $B_5$ "come se fossero" uno solo, e lo stesso per $B_3, B_7, B_9$?

Riguardo invece l'ultima cosa che hai scritto, dove rispondevi a quello che dicevo, cioè che aRb se e solo se a per b =0, non ho capito questo

Se "aRb se e solo se a per b =0" significa che $aRb$ se e solo se $ab=0$, $R$ non è transitiva perché, per esempio, $1R0$, cioè \(1\cdot 0=0\), $0R2$, cioè \(0\cdot 2=0\), ma non vale che \(1R2\), perché \(1\cdot 2\ne 0\).

Primo esercizio: In Z x Z* (x1, x2) R(y1, y2) se e solo se x1y2=x2y1
Domanda: che cosa vuole intendere Z x Z* ?

È il prodotto cartesiano \(\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}^{\star}\), dove supporrei che \(\mathbb{Z}^{\star}=\mathbb{Z}\setminus\{0\}\), cioè l'insieme delle coppie ordinate \((x,y)\) dove $x$ appartiene all'insieme degli interi $\mathbb{Z}$ e $y$ a quello \(\mathbb{Z}\setminus\{0\}\) degli interi tolto lo $0$. Mi sa tanto che dovresti leggerti con attenzione le pagine del testo che utilizzi riguardanti le notazioni di queste cose...
Questa relazione $R$ è chiaramente riflessiva, infatti, per ogni \(a=(x_1,x_2)\in\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}\setminus\{0\}\) (nota bene, $R$ mette in relazione due elementi di un insieme, che possono benissimo non essere numeri, ma coppie di numeri, persone come sopra, terne di numeri...), vale $aRa$, cioè \((x_1,x_2)R(x_1,x_2)\), cioè $x_1 x_2=x_2 x_1$. È simmetrica perché se \((x_1,x_2)R(y_1,y_2)\), cioè $x_1 y_2=x_2 y_1$, allora \((y_1,y_2)R(x_1,x_2)\), cioè $y_1 x_2=y_2 x_1$. È transitiva perché se \((x_1,x_2)R(y_1,y_2)\), cioè $x_1 y_2=x_2 y_1$, e \((y_1,y_2)R(z_1,z_2)\), cioè $y_1 z_2=y_2 z_1$, allora \((x_1,x_2)R(z_1,z_2)\), cioè $x_1 z_2=x_2 z_1$, cosa che vedi notando che $y_1=z_2^{-1} y_2 z_1$, perciò, sostituendo in $x_1 y_2=x_2 y_1$, vedi che $x_1 y_2=x_2 z_2^{-1} y_2 z_1 $, che vale banalmente per $y_2=0$, e dove puoi dividere entrambi i membri per $y_2$ se questo è diverso da $0$. Non è antisimmetrica perché, se valessero contemporaneamente la proprietà simmetrica e quella antisimmetrica in un qualunque insieme, significherebbe che esso possiede al massimo un elemento, cosa che ovviamente non vale per l'insieme infinito \(\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}^{\star}\).

Secondo esercizio: In R2 (insieme dei numeri reali al quadrato), (x1, x2) R (y1, y2) se e solo se x2-y2=2 (x1-y1)
Domanda: che cosa significa l'insieme dei numeri reali al quadrato?

È il prodotto cartesiano di $\mathbb{R}$ per se stesso, cioè l'insieme delle coppie ordinate di numeri reali.
Dati $n$ insiemi $X_1,...,X_n$, il prodotto cartesiano $X_1\times ...\times X_n$ è l'insieme delle $n$-uple, delle sequenze ordinate \((x_1,...,x_n)\) tali che $x_1\in X_1,...,x_n\in X_n$.
Questa relazione è ovviamente riflessiva, infatti, per ogni coppia \((x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2\) vale che \(x_2-x_2=0=2(x_1-x_1)\). È simmetrica perché, per ogni \((x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2\) e \((y_1,y_2)\in\mathbb{R}^2\), se \(x_2-y_2=0=2(x_1-y_1)\) allora \(y_2-x_2=0=2(y_1-x_1)\), ed è transitiva perché vale sempre che se \(x_2-y_2=0=2(x_1-y_1)\) e \(y_2-z_2=0=2(y_1-z_1)\), come vedi sommando a due a due i membri di queste uguaglianze, vale anche che \(x_2-z_2=0=2 x_1-2 z_1\).

[Lovaticss]

Grazie ancora per le risposte, davvero gentilissimo.
Ho capito tutto bene, davvero belle le spiegazioni!
L'unica cosa che però non ho capito è questa:

...[...]... cosa che vedi notando che y1=z2-¹y2z1

Potresti spiegarmi meglio che non sono riuscita a capirlo? Grazie

Ps.: scusate per i simboli (Riguardo al libro è proprio questo il problema, che non spiega proprio tutto e a volte noi compagni di classe ci ritroviamo a cercare su internet quello che non troviamo nel libro)

[DavideGenova]

Scusa se ti ho confuso dimenticando lo $0$ in "per $y_2=0$". Corretto sopra. Espando il ragionamento fatto, comunque, per fugare ogni dubbio.
Se \((y_1,y_2)R(z_1,z_2)\), cioè $y_1 z_2=y_2 z_1$, (e \((x_1,x_2)R(y_1,y_2)\), cioè $x_1 y_2=x_2 y_1$) allora dividendo per $z_2$ entrambi i membri dell'uguaglianza, cosa che puoi fare perché \(z_2\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}\) (visto che \((z_1,z_2)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\setminus\{0\} \)), vedi che $y_1={ y_2 z_1}/z_2$ e, sostituendo in $x_1 y_2=x_2 y_1$, che $x_1 y_2={x_2 y_2 z_1}/z_2 $, che vale banalmente per $y_2=0$ (in tal caso l'uguaglianza diventa $0=0$), e dove puoi dividere entrambi i membri per $y_2$, se questo è diverso da $0$, e poi moltiplicarli per $z_2$ ottenendo che $x_1z_2=x_2z_1$, cioè \((x_1,x_2)R(z_1,z_2)\).