Dimostrazione della negazione di quantificatori

Messaggioda Dany_95 » 05/03/2015, 19:54

Ciao a tutti :)
Sapete dirmi come dimostrare la {2.4} usando la {2.3} e la proprietà della doppia negazione??? Grazie :lol:

[non(∀x, A(x)] ⇐⇒ [∃x : non(A(x))] {2.3}

[non(∃x : A(x)] ⇐⇒ [∀x, non(A(x))] {2.4}
Dany_95
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Iscritto il: 05/03/2015, 19:42

Re: Dimostrazione della negazione di quantificatori

Messaggioda vlander » 06/03/2015, 23:56

La proprietà della doppia negazione equivale al fatto che ogni proposizione è equivalente alla sua contronominale, cioè
$$a \rightarrow b \Longleftrightarrow \neg b \rightarrow \neg a$$

Partendo dunque dalla 2.3, hai che

$$\neg (\forall x . A(x)) \Longleftrightarrow \exists x . \neg A(x)$$

equivale a

$$\neg (\exists x . \neg A(x)) \Longleftrightarrow \neg (\neg (\forall x . A(x)))$$

che equivale a

$$\neg (\exists x . \neg A(x)) \Longleftrightarrow \forall x . A(x)$$

che equivale a

$$\neg (\exists x . A(x)) \Longleftrightarrow \forall x . \neg A(x)$$

che è la 2.4, e siccome hai per ipotesi la 2.3 hai che vale anche la 2.4.
Exchange, please
\[
v \in \mathbb{K}(A \cup \{w\})\setminus\mathbb{K}A \rightleftarrows w \in \mathbb{K}(A \cup \{v\})\setminus\mathbb{K}A
\]
vlander
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