automorfismi gruppi ciclici

[matematicus95]

devo dimostrare che se $G=<x>$ è un gruppo ciclico, allora se è infinito devo determinare il suo automorfo. ho pensato visto che G è ciclico e infinito allora è isomorfo a $Z$, ma $Z$ ha solo due generatori, poi come devo continuare mi potreste spiegare?

[Frink]

Ci sei quasi, non ho capito perché però prenderesti due generatori per $\mathbb{Z}$. Ricordando che $\mathbb{Z}$ è ciclico infinito, sappiamo che è generato da un solo elemento, sia $1$. Un isomorfismo manda elementi della base in elementi della base, quindi...? Come comcludiamo?

[matematicus95]

Sappiamo che è generato da 1 e -1, e poi come continuo non ho capito come concludere

[Frink]

Ma non è vero! Altrimenti, che gruppo ciclico sarebbe? $-1$ è l'inverso di $1$, no? Basta $1$ per generare tutto $\mathbb{Z}$. Adesso confronta con quanto detto sopra sugli isomorfismi...

[matematicus95]

allora c'è l'applicazione $x->-x$? E poi?

[Frink]

Un isomorfismo è completamente determinato dall'immagine del generatore del gruppo ciclico.
Uno è certamente quello che hai scritto, l'altro quale può essere, considerando la definizione di isomorfismo (in particolare la bigettività)?

[matematicus95]

L'identica, ma perché non c'è ne sono altri?

[Frink]

Perché, e lo scrivo per la terza volta:

Un isomorfismo è completamente determinato dall'immagine del generatore del gruppo ciclico.

A livello pratico, questo significa che per dare un isomorfismo $\phi$ mi devi dire quanto vale $\phi(1)$ e basta. Inoltre, un isomorfismo manda generatori in generatori (non è difficile da dimostrare). Un automorfismo è un isomorfismo da $\mathbb{Z}$ in sè stesso. Questo garantisce che i due che hai scritto sono gli unici.