Supponiamo di avere una struttura di monoide $(M, *, e)$ su un insieme finito $M$.
Esistono $f: (NN, +, 0) \to (M, *, e)$ omomorfismi iniettivi? E surgettivi?
Ora la risposta alla prima domanda è chiaramente no (poiché $|NN|>|M|$ non esistono nemmeno funzioni iniettive).
La seconda parte è quella che non mi torna: secondo la correzione la risposta è no e la giustificazione riportata è la seguente:
Sia $f: (NN, +, 0) \to (M, *, e)$ omomorfismo di monoidi. Per ogni $n in NN$\${0}$ si ha $f(n)=f(1+...+1)=f(1)^n$, dunque $Imf={f(1)^n : n in NN}$. Sia allora $M={(0,0), (1,0), (0,1), (1,1)}$ dotato del prodotto componente per componente in $ZZ_2$ (insieme delle classi di resto modulo 2): per ogni $x in M$ si ha $|{x^n : n in NN}|<=2$, dunque in questo caso $Imf!=M$.
Innanzitutto mi sembra che trattando un caso particolare non dimostri che non esistono omomorfismi surgettivi in generale; inoltre provando credo di averne trovato uno. Se considero $f: (NN, +, 0) \to (ZZ_2, +, [0])$ , che associa $0 \to [0]$ e in generale $n in NN \to [n] in ZZ_2$, dovrebbe funzionare... (dovrebbe essere un omomorfismo in quanto restrizione della proiezione sul quoziente da $ZZ$ in $ZZ/(2ZZ)$ che è un omomorfismo di anelli se non erro)
