Mi spiegate cosa sono i numeri Irrazionali?

[TurboC]

Vi faccio una domanda molto semplice (almeno per voi). Al minuto 4:02 il professore di questo video cerca di capire se la radice quadrata di 2 può essere rappresentata sotto forma di una frazione. Alla fine però si scopre che la radice quadrata di 2 non appartiene all'insieme dei numeri Razionali e che quindi non può essere espressa in quel modo. La mia domanda è, come ci è arrivato? come mai (m^2)/(n^2) non può essere uguale a 2? non capisco il suo ragionamento. qualcuno può aiutarmi a capire?

https://www.youtube.com/watch?v=bRxyvnykibo


Alla fine ci sono arrivato anch'io, ma non ho seguito il suo stesso ragionamento. La radice quadrata di 2 è compresa tra 1 e 2, quindi, ammesso che esista una frazione che possa rappresentare questo valore, m/n (la nostra frazione ipotetica) deve essere per forza irriducibile, con "n" ed "m" rappresentati da degli interi primi (o da qualche loro multiplo). Togliendo la radice quadrata all'equazione seguente diventa tutto più chiaro:

√2=m/n --> 2=m^2/n^2

Ma se "m" ed "n" erano irriducibili tra loro, anche elevandoli al quadrato otterrò una frazione irriducibile. Quindi com'è possibile che da una frazione del genere, esca fuori un numero intero? da questo posso capire che la premessa fatta in precedenza, ossia che la radice quadrata di 2 è un numero razionale, non è corretta. Ma il professore come ci è arrivato?

[vict85]

Quella è una dimostrazione per assurdo: ha supposto per assurdo che la radice quadrata fosse un razionale e ha ricavato qualcosa di insensato, pertanto ha rifiutato l'ipotesi.

[TurboC]

Quella è una dimostrazione per assurdo: ha supposto per assurdo che la radice quadrata fosse un razionale e ha ricavato qualcosa di insensato, pertanto ha rifiutato l'ipotesi.

D'accordo.. ma la domanda è un'altra. Qual'è stato il ragionamento del professore per arrivare a questa conclusione?

[Ernesto01]

$ 2m^2!=n^2 $ per ogni m e n appartenenti ai numeri naturali. Infatti fattorizzando i due interi ottieni che quello a sinistra ha una fattorizzazione con potenza del 2 dispari, mentre quello a destra ha una fattorizzazione con potenza pari del 2

[TurboC]

Infatti fattorizzando i due interi ottieni che quello a sinistra ha una fattorizzazione con potenza del 2 dispari, mentre quello a destra ha una fattorizzazione con potenza pari del 2

non ho capito nulla.. credo proprio che siamo arrivati al nocciolo della questione. puoi essere più elementare per favore?

[marcolaser]

1) $ sqrt(2) != m/n rarr 2!= m^2/n^2 rarr 2n^2!= m^2 $
Ragioniamo su n e m. Fattorizziamo la parte destra: trascurando altri fattori, concentriamoci sul fattore 2. Se esiste avrà potenza r quindi $ m=a^x*b^y...*2^r $
Elevando m al quadrato, per le regole delle potenze avremo:
$ m^2=a^(2x)*b^(2y)*...*2^(2r) $
quindi la potenza di 2 in questo caso è pari.
Fattrizziamo la parte sinistra; analogamente a quanto scritto per m anche in n potrebbe esistere 2 come fattore con potenza s. Elevando al quadrato si avrà:
$ n^2=a^(2t)*b^(2w)*...*2^(2s) $
moltiplicando per il fattore 2 che c'è a sinistra otterremo:
$ 2n^2=a^(2t)*b^(2w)*...*2^(2s+1) $
A sinistra quindi 2 compare con un esponente dispari mentre a destra con un esponente pari.
Poiché, per il teorema fondamentale dell'aritmetica, due numeri possono venir fattorizzati in una sola maniera, a meno della posizione dei fattori, perché valga l'uguaglianza dovrebbero essere uguali tutti i fattori (con le loro potenze) cioè:
$ a^(2t)=a^(2x), b^(2w)=b^(2y) .... 2^(2r)=2^(2s+1) $
e quindi:
$ 2r=2s+1 $
L'ultima espressione dice che un numero pari (2r) dovrebbe essere uguale ad un numero dispari (2s+1). Il che è assurdo. Quindi l'uguaglianza è assurda e la 1) è vera.

[Gi8]

Dimostro che $sqrt2$ non è un numero razionale.
Lo dimostro per assurdo:
supponiamo per assurdo che esistano $m,n$ interi positivi coprimi tali che $m/n= sqrt2$.
Arriverò ad avere che sia $m$ sia $n$ sono necessariamente numeri pari,
e questo è un assurdo dato che $m$ e $n$ devono essere coprimi.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Elevando al quadrato si ha $m^2/(n^2)= 2$, cioè $m^2 = 2 n^2$.
Dato che $2n^2$ è pari, necessariamente anche $m^2$ è pari.
Pertanto $m$ è pari, cioè $m=2k$, per un certo $k$ intero positivo.
Allora $(2k)^2 = 2n^2 => 4k^2 = 2n^2 => 2k^2 =n^2$.
Dato che $2k^2$ è pari, necessariamente $n^2$ è pari, dunque $n$ è pari.