Limite diretto

[Frink]

Salve forum!

Ho cercato di provare l'equivalenza di due definizioni del limite diretto, mi piacerebbe se poteste darmi la vostra opinione.

Comincio con le definizioni varie, do per scontata la nozione di famiglia induttiva $(G_n, \phi_n)$.

Definizione 1. Sia \(G= \bigoplus _{n \in \mathbb{Z}} G_n\) la somma diretta dei gruppi $G_n$. Per ogni $n$ sia $f_n:G_n \rightarrow G$ l'inclusione dell'addendo n-esimo nella somma diretta.
Sia $H$ il sottogruppo di G generato da tutti gli elementi della forma $f_n(g)-f_{n+1}(\phi_n(g))$ per ogni $n \in \mathbb{Z}$ e per ogni $g \in G_n$.
Si dice Gruppo Limite Diretto della famiglia induttiva $(G_n, \phi_n)$ di gruppi abeliani, denotato
\[ \lim_{\longrightarrow n} (G_n, \phi_n)= \lim_{\longrightarrow n} (G_n) \]
il gruppo quoziente \( (\bigoplus_{n \in \mathbb{Z}} G_n)/H \).

Questa non è la definizione classica per gruppi qualunque, è una definizione data "in anteprima" sugli abeliani, in una non so che convinzione di aiutare la comprensione al lettore.

Ora la definizione classica:
Definizione 2. Si dice Gruppo Limite Diretto della famiglia induttiva $(G_n, \phi_n)$ di gruppi, denotato
\[ \lim_{\longrightarrow n} (G_n, \phi_n)= \lim_{\longrightarrow n} (G_n) \]
il gruppo quoziente \(A/ \sim \).
Segue la definizione di $A$ e \(\sim\):
\[A=\coprod G_n \]
che in generale non è un gruppo, mentre \( \sim \) è più articolata.
Diciamo che \[ x \sim y \iff \exists z \ |\ z=\phi_{n+k-1} \circ \dots \circ \phi_n(x) \wedge z=\phi_{n+k-1} \circ \dots \circ \phi_n(y) \] con $x,y \in G_n$ per ogni $n \in \mathbb{Z}$. A parole, $x$ e $y$ sono in relazione se esiste uno $z$ che è iterato di entrambi. Si definisce il prodotto delle classi come il prodotto di opportuni iterati e si può provare semplicemente che è ben definito, quindi che \( A / \sim \) è un gruppo rispetto al prodotto delle classi.

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L'esercizio che ho trovato chiede di provare l'equivalenza delle due definizioni quando la famiglia induttiva è composta di soli gruppi abeliani. Inizio scrivendo gli elementi di $H$ e delle classi (e direi che in realtà la parte difficile è questa):
\[ H=\left\{ (0, \dots ,0,g,-\phi_n(g),0, \dots) \ | \ \forall n \in \mathbb{Z}, \ \forall g \in G_n \right\} \]
E' corretto mettere degli $0$ altrove? Noto solo che ho scritto male l'insieme, quelli che ho scritto sono in effetti i generatori di $H$ e non tutto l'insieme che ne è combinazione. Ancora, come mai quel $-$ davanti a $\phi_n(g)$? Cambierebbe qualcosa se ci fosse più? A me non pare...
Ora, due elementi in relazione come sono fatti? $x,y \in G_n$ sono in relazione se esiste un loro iterato comune. Scrivo gli elementi \[ \tilde{x}=(0, \dots , 0, x, \phi_n(x), (\phi_{n+1} \circ \phi_{n} (x)) , \dots , (\phi_{n+k-1} \circ \dots \circ \phi_{n})(x) ), 0 , \dots ) \]
e \[ \tilde{y}=(0, \dots , 0, y, \phi_n(y), (\phi_{n+1} \circ \phi_{n} (y)) , \dots , (\phi_{n+k-1} \circ \dots \circ \phi_{n})(y) ), 0 , \dots ). \]
Se \( (\phi_{n+k-1} \circ \dots \circ \phi_{n})(y)=z=(\phi_{n+k-1} \circ \dots \circ \phi_{n})(x) \) ho che i due elementi sono in relazione, e quindi due elementi di questo tipo stanno nella stessa classe di equivalenza. Basta ora far vedere che stanno nello stesso laterale di $H$.
E' vero che $\tilde{x} - \tilde{y} \in H$?
\[ \tilde{x}-\tilde{y}=(0, \dots , 0, x-y, \phi_n(x)-\phi_n(y), \dots)\]
Siccome i $\phi_n(\cdot)$ sono omeomorfismi, $\phi_n(x)-\phi_n(y)=\phi_n(x-y)$ e così via, trasformandolo proprio in un elemento di $H$.
Il dubbio che permane arriva anche dalla definizione di somma, che prevede che "all but finitely many" elementi siano nulli, mentre nell'unione disgiunta non c'è una tale richiesta, che io ricordi.



Mi rendo conto di aver scritto un "wall of text", quindi ringrazio fin d'ora chi avrà voglia di leggere fino in fondo. Spero di non aver scritto baggianate troppo grosse, bye!

[Epimenide93]

Fonte? Il fatto che indicizzi su \(\mathbb{Z}\) e che le \(\phi\) abbiano un solo indice significa che quella data non è la generale nozione di limite diretto, ma quella di limite diretto di una \(\omega\)-sequenza. In breve, indicando al solito con \(\omega = \omega _0\) il primo ordinale infinito e considerandolo una categoria dell'ordine, dato un funtore \(F:\omega \to \mathbf{Ab}\) stai calcolando \(\operatorname{colim}F = \operatorname{colim}_n G_n\). In generale si dice limite diretto (di gruppi abeliani) il colimite di un funtore \(F: \mathscr{D} \to \mathbf{Ab}\) dove \(\mathscr{D}\) è una categoria (piccola) diretta, qualunque essa sia. Per una definizione in termini non categoriali, dai un'occhiata all'Atiyah-Macdonald capitolo 2, esercizio 14, oppure "scompatta" da te la definizione categoriale dando quella esplicita.

E' corretto mettere degli $0$ altrove?

Sì, lo è, ma come noti quelli sono i generatori, \(H\) è l'insieme delle combinazioni lineari a coefficienti nell'insieme che indichi, ovvero \[ H= \operatorname{span} \left\{ (0, \dots ,0,g,-\phi_n(g),0, \dots) \ | \ \forall n \in \mathbb{Z}, \ \forall g \in G_n \right\} \]

come mai quel $-$ davanti a $\phi_n(g)$? Cambierebbe qualcosa se ci fosse più?

Sì, perché non puoi cambiare il segno della singola componente, se cambi il segno del generatore ti ritrovi \((0, \dots ,0,-g,\phi_n(g),0, \dots)\). Il punto è che date le uniche due componenti non nulle, di una devi prendere l'opposto, dell'altra no.

\[A=\coprod G_n \]
che in generale non è un gruppo

Ergo, qui il coprodotto è inteso come unione disgiunta degli insiemi a sostegno dei \(G_n\). Occhio che le relazioni le devi verificare tra l'insieme sostegno di \(G\) e l'insieme \(A\), non sui singoli \(G_n\). Inoltre non capisco perché scrivi in quel modo \(\tilde{x}\) e \(\tilde{y}\).

Il dubbio che permane arriva anche dalla definizione di somma, che prevede che "all but finitely many" elementi siano nulli, mentre nell'unione disgiunta non c'è una tale richiesta, che io ricordi.

Vero, ma gli elementi dell'unione disgiunta non sono successioni ordinate delle componenti. I due insiemi \(G\) ed \(A\) sono profondamente diversi. Per vederlo prova a riflettere sulla differenza che passa tra \(B \times B\) e \(B \coprod B\), con \(B\) insieme. Capisco da dove ha origine la tua confusione al riguardo perché è una cosa che ha confuso anche me per parecchio tempo, ma per parlarne ora ci sarebbe da mettere troppa carne al fuoco, mi riservo di dirti la mia in un secondo momento.

[Frink]

Fonte?

Arriva da queste note di Teoria dei Gruppi di un professore della mia università. A parte qualche typo sono carine ma danno tanto per scontato.

Il fatto che indicizzi su \(\mathbb{Z}\) e che le \(\phi\) abbiano un solo indice significa che quella data non è la generale nozione di limite diretto, ma quella di limite diretto di una \(\omega\)-sequenza. In breve, indicando al solito con \(\omega = \omega _0\) il primo ordinale infinito e considerandolo una categoria dell'ordine, dato un funtore \(F:\omega \to \mathbf{Ab}\) stai calcolando \(\operatorname{colim}F = \operatorname{colim}_n G_n\). In generale si dice limite diretto (di gruppi abeliani) il colimite di un funtore \(F: \mathscr{D} \to \mathbf{Ab}\) dove \(\mathscr{D}\) è una categoria (piccola) diretta, qualunque essa sia. Per una definizione in termini non categoriali, dai un'occhiata all'Atiyah-Macdonald capitolo 2, esercizio 14, oppure "scompatta" da te la definizione categoriale dando quella esplicita.

Sì, come puoi vedere nel .pdf la nozione categoriale manca del tutto, avevo intenzione di integrarla. Ti ringrazio per le references.

Sì, perché non puoi cambiare il segno della singola componente, se cambi il segno del generatore ti ritrovi \((0, \dots ,0,-g,\phi_n(g),0, \dots)\). Il punto è che date le uniche due componenti non nulle, di una devi prendere l'opposto, dell'altra no.

Sì, mi è chiaro, ma mi chiedevo quale fosse il senso profondo nello scegliere a priori il $-$ invece del $+$. Che cambiamento effettivo porta sul gruppo quoziente finale?

Ergo, qui il coprodotto è inteso come unione disgiunta degli insiemi a sostegno dei \(G_n\). Occhio che le relazioni le devi verificare tra l'insieme sostegno di \(G\) e l'insieme \(A\), non sui singoli \(G_n\). Inoltre non capisco perché scrivi in quel modo \(\tilde{x}\) e \(\tilde{y}\).

Mea culpa sulla scrittura di $\tilde{x}$ e $\tilde{y}$. Avevo pensato di notare in quel modo il coprodotto ma in effetti non ha senso, l'elemento del coprodotto è una sola componente di quel "vettore", insieme alla sua posizione: praticamente $(g,n)$ è elemento del coprodotto, così come lo è $(\phi_n(g),n+1)$...

Vero, ma gli elementi dell'unione disgiunta non sono successioni ordinate delle componenti. I due insiemi \(G\) ed \(A\) sono profondamente diversi. Per vederlo prova a riflettere sulla differenza che passa tra \(B \times B\) e \(B \coprod B\), con \(B\) insieme. Capisco da dove ha origine la tua confusione al riguardo perché è una cosa che ha confuso anche me per parecchio tempo, ma per parlarne ora ci sarebbe da mettere troppa carne al fuoco, mi riservo di dirti la mia in un secondo momento.

Penso di aver più o meno riparato a questo errore specificando poco sopra, in effetti così $A$ è molto più "piccolo". Comunque credo che la scrittura che ho dato per $\tilde{x},\tilde{y}$ potrebbe andare se fossero elementi di $H$, solo che mancano questi segni meno davanti (a quelli di posto pari)...
Direi che il fatto che due elementi con iterato comune stiano in $H$ lo vedo: $(x,n)$ e $(y,n)$ abbiano iterato comune $(z,n+k)$. Allora si può scrivere una catena come quelle di $\tilde{x}, \tilde{y}$, giusto?

Grazie mille per la disponibilità!

[Epimenide93]

Sì, mi è chiaro, ma mi chiedevo quale fosse il senso profondo nello scegliere a priori il $-$ invece del $+$. Che cambiamento effettivo porta sul gruppo quoziente finale?

Molto informalmente: se fai un quoziente su un gruppo abeliano, mandando nella classe nulla l'elemento $a-b$ hai che nel quoziente $a-b = 0$ ovvero $a=b$. La cosa si estende, con le ovvie accortezze, al caso di gruppi generici in notazione moltiplicativa.

Mea culpa sulla scrittura di $\tilde{x}$ e $\tilde{y}$. Avevo pensato di notare in quel modo il coprodotto ma in effetti non ha senso, l'elemento del coprodotto è una sola componente di quel "vettore", insieme alla sua posizione: praticamente $(g,n)$ è elemento del coprodotto, così come lo è $(\phi_n(g),n+1)$...

Yep. Vista in un altro modo, se \(g \in G_n\) nel coprodotto¹ ti ritrovi $g$, in carne ed ossa. Se per un \(m \ne n\) si ha che \(g \in G_m \cap G_n\), allora nel coprodotto ti ritrovi due copie identiche dello stesso $g$, una proveniente da $G_m$ ed una proveniente da $G_n$.

Comunque credo che la scrittura che ho dato per $\tilde{x},\tilde{y}$ potrebbe andare se fossero elementi di $H$, solo che mancano questi segni meno davanti (a quelli di posto pari)...
Direi che il fatto che due elementi con iterato comune stiano in $H$ lo vedo: $(x,n)$ e $(y,n)$ abbiano iterato comune $(z,n+k)$. Allora si può scrivere una catena come quelle di $\tilde{x}, \tilde{y}$, giusto?

Tu vuoi che \(\tilde{x}\) ti rappresenti \(x\) nel coprodotto, o nel quoziente fatto sul coprodotto? Perché nel primo caso la notazione "vettoriale" non la puoi usare, nel secondo dovresti provare a spiegarmi meglio cosa intendi. Immagino si tratti del secondo caso, però non riesco comunque a seguirti

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Note

1. lo ripeto, ma è importante, stiamo parlando di coprodotto in \(\mathbf{Set}\) tra i sostegni dei gruppi in questione. Il coprodotto in \(\mathbf{Ab}\) è precisamente la somma diretta. ↑

[Frink]

Ho provato un approccio leggermente diverso al problema, che mi pare corretto.

Come sono fatte le classi di equivalenza di un determinato $(x,n)$ (d'ora in poi non scriverò più il posto $n$ a meno che non sia fondamentale) secondo la relazione che abbiamo chiamato \( \sim \)?
\[
\left[x\right]=\left\{ y \ | \ \text{ $y$ ha un iterato comune con $x$}\right\}
\]

Come sono fatti invece i laterali di $H$? Ad esempio, cerco di capire il laterale \(( 0, \dots, 0, a, 0, \dots )+H \)
Saranno elementi di $H$ a cui aggiungo $a$ nel posto $n$-esimo.

Quando un elemento \( (0,\dots,0,b,0,\dots) \) sta anche lui in $a+H$? Vorrei che succedesse quando $a$ e $b$ hanno iterati comuni...

In effetti, diciamo che $a$ e $b$ hanno iterati comuni. Tramite somme di elementi di $H$, possiamo ricondurci ad avere un elemento del tipo
\[ (0,\dots,0,g,-\phi_n(g),\dots,0,\dots,0,(\phi_{n+k-1}\circ\dots\circ\phi_n)(a),0,\dots) \]
partendo da \( (0,\dots,0,a+g,-\phi_n(g),0,\dots) \)


Supponendo che quell'iterato $n+k$-esimo sia l'iterato comune di $a$ e $b$, abbiamo che tramite somme e sottrazioni (solo somme a dire il vero) abbiamo ricondotto sia \( (0,\dots,0,a+g,-\phi_n(g),0,\dots) \) sia \( (0,\dots,0,b+g,-\phi_n(g),0,\dots)\) ad uno stesso elemento.
Allora i due devono essere nello stesso laterale, quindi è vero che elementi in relazione appartengono allo stesso laterale.
Si può estendere immediatamente al caso in cui il laterale sia di qualcosa come \((0,\dots,0,a_1,0,\dots,0,a_2,0,\dots,0,a_k,0,\dots) \) per ogni $k$.

Così però credo non basti, dovrei ancora dimostrare che sono gli unici che possono stare nello stesso laterale. Non dovrebbe essere troppo complicato ma solo lungo da scrivere, se riesco lo abbozzo quando torno...

Tu vuoi che \(\tilde{x}\) ti rappresenti $x$ nel coprodotto, o nel quoziente fatto sul coprodotto? Perché nel primo caso la notazione "vettoriale" non la puoi usare, nel secondo dovresti provare a spiegarmi meglio cosa intendi. Immagino si tratti del secondo caso, però non riesco comunque a seguirti

Volevo, a dire il vero, che \(\tilde{x}\) rappresentasse $x$ in $H$ come la catena che da $x$ parte e raggiunge il primo iterato comune con $y$. Mi rendo conto che è un po' oscuro, e oltretutto non molto corretto... Spero ora sia più lineare e comprensibile!

Ti ringrazio per la disponibilità e la pazienza!

[Epimenide93]

Tramite somme di elementi di $H$, possiamo ricondurci ad avere un elemento del tipo
\[ (0,\dots,0,g,-\phi_n(g),\dots,0,\dots,0,(\phi_{n+k-1}\circ\dots\circ\phi_n)(a),0,\dots) \]
partendo da \( (0,\dots,0,a+g,-\phi_n(g),0,\dots) \)

Ci ho messo un attimo a vederlo, ma in effetti torna.

Ok, quindi vuoi dimostrare che (con un abuso di notazione dal significato spero ovvio) \(a+H = b+H \iff \phi^m (a) = \phi^m (b) \ \text{definitivamente}\), e direi che ora hai dimostrato la \(\Longleftarrow\)

Forse se usi la caratterizzazione \(a+H = b+H \iff a-b \in H\) riesci a snellire le dimostrazioni di entrambe le frecce.

[Frink]

Pensavo proprio di usare la caratterizzazione $a-b \in \H$, infatti, detto \( a=(0,\dots,0,a,0,\dots) \) e \( b=(0,\dots,0,b,0,\dots) \), distinguo due casi:

Nel primo, $a$ e $b$ sono nella stessa posizione:
\[
a-b= (0,\dots,0,a-b,0,\dots)
\]
Quindi $a-b$ sta nel kernel di $\phi_n$, dunque $0_{G_{n+1}}$ è iterato sia di $a$ che di $b$.

Nel secondo, $a$ e $b$ stanno in posizioni diverse, ad esempio $a$ in $G_n$, $b$ in $G_{n+k}$.
\[
a-b=(0,\dots,0,a,0,\dots,0,-b,0,\dots)
\]
Siccome sta in $H$, per la caratterizzazione di $H$ data prima, $b$ deve essere un iterato di $a$.
Si estende facilmente al caso in cui gli elementi $a$ e $b$ siano composti di più componenti.

Ci ho messo un attimo a vederlo, ma in effetti torna.

E' proprio il fatto che sia un po' complicata da vedere che mi dà fastidio... Forse c'è un modo migliore (escludendo le categorie che certamente semplificano molto).

Grazie per la pazienza e l'aiuto!