Esercizio su fattorizzazioni in Z[x]

[jJjjJ]

L'esercizio mi chiede di dimostrare che ogni elemento irriducibile di $ Z[x] $ è primo senza usare il fatto che è un UFD.

Io ho pensato questo:

Sia $ f \in Z[x] $ polinomio irriducibile e siano $g,h \in Z[x]$ polinomi tali che $ f | gh $
Se $deg f = 0$ si ha che $f \in Z$ dunque scriviamo $ g = a g_0 $ e $ h = b h_0 $ con $ a. b \in Z $ e $ g_0, h_0 \in Z[x] $ polinomi primitivi. Ovviamente $ f \ne 1 $ e $ f \ne -1 $ poiché è irriducibile, dunque $f$ non può dividere né $g_0$ né $h_0$ per la definizione di polinomi primitivi, dunque $ f | ab \rightarrow f| a \vee f|b$ ovvero $f|g$ oppure $f|h$

Supponiamo dunque che $deg f > 0$ . Poiché $f$ è irriducibile, allora ovviamente è primitivo, altrimenti potremmo scrivere, $f = \alpha f_0$ con $ \alpha \in Z-U(Z) $ e $ deg f_0 > 0 $ dunque $ f $ non sarebbe irriducibile.
Dunque si ha che il polinomio $f$ essendo primitivo e irriducibile, è irriducibile anche in $Q[x]$ Inoltre si ha che $f | gh $ anche in $Q[x]$ e poiché questo è un UFD $ f | g \vee f | h$ ( in $ Q[x] $ )
Supponiamo che $ f | g $ allora $ f | ag_0 $ e poiché siamo in un UFD e $deg f > 0$ si ha $ f | g_0 $ Ovvero $ \exist t \in Q[x]: g_0 = ft $ Pongo $ t = \lambda t_0 $ con $ \lambda \in Q $ e $ t_0 \in Z[x] $ primitivo. Dunque:
$ g_0 = \lambda ( f t_0 ) $ Ma $ g_0 \in Z[x] $ e primitivo, dunque deve essere $ \lambda = 1 $ oppure $\lambda = -1 $ Ovvero $ f|g_0$ in $Z[x]$ e dunque anche $g$

Analogamente si dimostra che se $f|h$ in $Q[x]$ allora lo divide in $Z[x]$

E' giusto?

[dan95]

È più facile di così, allora essendo $p(x)$ irriducibile allora l'ideale $(p(x))$ è massimale (vale anche il viceversa), essendo inoltre $ZZ[x]$ un anello euclideo allora $p(x)$ è primo (anche qua vale il viceversa).

[jJjjJ]

$ p(x) $ irriducibile $ \rightarrow ( p(x) )$ va dimostrato visto che $ Z[ x ] $ non è un PID

[dan95]

Si in effetti non ricordavo che $ZZ[x]$ non è a ideali principali e dunque non è nemmeno euclideo... sorry