$1$
SIa $G$ un gruppo di ordine $15$. Dimostrare che $G$ è ciclico.
Riesco a dire, usando Sylow, che G contiene uno e un solo gruppo di ordine $3$ e uno e un solo di odine $5$. Siccome sono gli unici sottogruppi del loro ordine, riesco a dire che sono normali. So anche che sono ciclici. Poi nel dettaglio come concludo?
- Edit: ok, forse mi è venuta l'illuminazione:
Chiamiamo $H$ e $K$ rispettivamente i sottogruppi di ordine $3$ e $5$.
$H$ e $K$ hanno intersezione banale, perché sono ciclici con ordine (co)primo;
$H$ e $K$ sono sottogruppi normal, perché sono gli unici del loro ordine;
quindi $HK \cong H \times K$.
Allora $HK$ ha ordine 15, perciò $HK = G$ e $G \cong H \times K$.
D'altronde $H \times K \cong \mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_5 \cong \mathbb{Z}_15$ (perché 3 e 5 sono coprimi).
Probabilmente l'ho fatta lunghissima XD
$2$
Dimostrare che un gruppo abeliano finito è prodotto diretto dei propri sottogruppi di Sylow.
Penso si possa dire che esiste uno e un solo sottogruppo di Sylow per ogni ordine, usando il fatto che sotogruppi di Sylow dello stesso ordine sono sempre coniugati; infatti, detto $H$ un $p$-sottogruppo di Sylow, allora si ha, $\forall x \in G$, che $x^(-1)Hx = H$ (usando la commutatività).
Poi come concludo?
Grazie mille