Calcolo della norma in un campo di numeri

[TT92]

Buon pomeriggio a tutti,
avrei bisogno di un chiarimento sul calcolo della norma in un campo di numeri. Mostro subito un esempio per essere più chiaro.
Sia $ K = mathbb(Q) (zeta_9) $, dove $ zeta_9 $ è la radice ciclotomica nona; chiaramente $ mathbb(Q) sube K $ è un'estensione di campi di numeri. Devo calcolare la norma dell'elemento $ 1+2 zeta_9 ^3 $ (uguale a $ 1+2zeta_3 $), che appartiene a K ma non a $ mathbb(Q) $.
Il mio ragionamento è il seguente: so che la norma di un elemento è (eventualmente a meno del segno) il termine noto del polinomio minimo di quell'elemento su $ mathbb(Q) $. Essendo $ 1+2zeta_3 = sqrt(-3) $, il polinomio minimo di questo elemento su $ mathbb(Q) $ è $ X^2 + 3 $, quindi (tenendo presente che l'estensione ha grado 6) la norma di $ 1+2zeta_3 $ è $ (-1)^6 cdot 3 = 3 $.
Nella soluzione proposta dal professore, invece, si legge: poiché $ 1+2zeta_3 = sqrt(-3) $, la norma di $ 1+2zeta_3 $ vale $ 3^3 $, quasi come se elevasse alla sesta (a parte il segno) $ sqrt(-3) $... ma questa operazione più veloce, se ho ben capito, è lecita solo quando l'elemento di cui si deve calcolare la norma appartiene a $ mathbb(Q) $.
Dove sbaglio?
Grazie!

[Martino]

Qual è la tua definizione di norma?

La norma di \( \displaystyle x \in K \) in \( \displaystyle K/\mathbb{Q} \) è il determinante dell'operatore \( \displaystyle \mathbb{Q} \) -lineare \( \displaystyle K \to K \) dato dalla moltiplicazione per \( \displaystyle x \) . La norma in \( \displaystyle K/\mathbb{Q} \) di \( \displaystyle x \in K \) risulta uguale al prodotto delle radici del polinomio minimo di \( \displaystyle x \) su \( \displaystyle \mathbb{Q} \) (che è uguale al termine noto del polinomio minimo a meno del segno) elevato al grado \( \displaystyle |K:\mathbb{Q}(x)| \) (che nel tuo caso è \( \displaystyle 3 \) ).

Un altro modo di definire la norma è questo: data un'estensione finita separabile \( \displaystyle E/F \) , e \( \displaystyle x \in E \) , la norma di \( \displaystyle x \) è \( \displaystyle N_{E/F}(x) := \prod_i \sigma_i(x) \) dove i \( \displaystyle \sigma_i \) sono i \( \displaystyle F \) -omomorfismi iniettivi di \( \displaystyle E \) dentro una chiusura algebrica di \( \displaystyle E \) (se \( \displaystyle E \) è \( \displaystyle F \) -stabile, cioè \( \displaystyle E/F \) è di Galois, si tratta degli \( \displaystyle F \) -automorfismi \( \displaystyle E \to E \) ).

[TT92]

Noi abbiamo definito la norma nel secondo modo... non capisco bene perché risulti $ [K:mathbb(Q)(x)] = 3 $ . Credo di non aver mai visto un'estensione di campi fatta così! C'è da dire però che con la tua prima definizione la norma risulta proprio $ 3^3 $.
O meglio, forse ora ho trovato l'errore. Il mio ragionamento sarebbe valido se il polinomio minimo fosse uguale al polinomio caratteristico, cosa che avviene se e solo se siamo in presenza di un'estensione semplice. Nel mio caso il grado dell'estensione è 6, quindi il polinomio caratteristico (comunque multiplo del polinomio minimo) avrà grado 6! (6, non 6 fattoriale )
Dico bene?

[Martino]

Quel grado è 3 per la formula dei gradi, infatti \( \displaystyle |K:\mathbb{Q}| = \varphi(9) = 6 \) , \( \displaystyle |\mathbb{Q}(x):\mathbb{Q}|=2 \) essendo \( \displaystyle x= i \sqrt{3} \) e quindi

\( \displaystyle 6 = |K:\mathbb{Q}| = |K:\mathbb{Q}(x)| \cdot |\mathbb{Q}(x):\mathbb{Q}| = |K:\mathbb{Q}(x)| \cdot 2 \)

cioè \( \displaystyle |K:\mathbb{Q}(x)| = 3 \) .

Se per "polinomio caratteristico di \( \displaystyle x \) " intendi il polinomio caratteristico dell'operatore \( \displaystyle \mathbb{Q} \) -lineare \( \displaystyle K \to K \) dato dalla moltiplicazione per \( \displaystyle x \) allora sì, il suo grado è \( \displaystyle 6 \) . Certamente un "elemento primitivo" (cioè un elemento che genera da solo l'intera estensione) ha pol minimo = pol caratteristico ma nel tuo caso \( \displaystyle x \) non è primitivo (ha grado 2, non 6).

[TT92]

Giusto giusto, ora torna tutto!
Grazie per la tua disponibilità, mi hai risolto un bel dubbio

[Martino]

Prego