Gli anelli $ZZ[\root{p}(4)]$

[dan95]

Per quali primi $p$ l'anello $ZZ[\root{p}[4]]$ è un UFD?

[j18eos]

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Odio i calcoli!

...e non escludo di aver sbagliato: solo per \(\displaystyle p=2\)!

Infatti:
\[
\sqrt[p]{4}\in\mathbb{Z}[\sqrt[p]{4}]=R\Rightarrow \forall k\in\{1,\dots,p-1\},\,\sqrt[p]{4^k}\in R;
\]
da ciò:
\[
1-\sqrt[p]{4},1+\sqrt[p]{4}+\sqrt[p]{4^2}+\dots+\sqrt[p]{4^{p-1}}\in R;\\
\left(1-\sqrt[p]{4}\right)\left(1+\sqrt[p]{4}+\sqrt[p]{4^2}+\dots+\sqrt[p]{4^{p-1}}\right)=\dots=-3=3\cdot(-1)\in R,
\]
cioè \(\displaystyle-3\) è fattorizzabile in due modi distinti, a meno di elementi invertibili!

[Martino]

Idea interessante, ma \( \displaystyle 3 \cdot (-1) \) non è una fattorizzazione di \( \displaystyle -3 \) , perché \( \displaystyle -1 \) è invertibile.

[dan95]

Ci sei quasi j18eos prova con un altro numero magari proprio con un multiplo di 3...

[j18eos]

Perché non generalizzare direttamente?

Siano \(\displaystyle p\in\mathbb{P}_{\ge3},\,n\in\mathbb{Z}\) tale che \(\displaystyle\sqrt[p]{n^2}\not\in\mathbb{Z}\), \(\displaystyle R=\mathbb{Z}\left[\sqrt[p]{n^2}\right]\) ed \(\displaystyle m\) un numero intero non nullo distinto da \(\displaystyle\pm1\).

Si ha che:
\[
\left(m^2\sqrt[p]{n^2}-1\right)\left[1+m^2\sqrt[p]{n^2}+\dots+\left(m^2\sqrt[p]{n^2}\right)^{p-1}\right]=m^{2p}n^2-1=(m^pn-1)(m^pn+1)
\]
e quindi \(\displaystyle R\) non è fattoriale (U.F.D.)!

Se è tutto corretto, non ho usato l'ipotesi di primalità di \(\displaystyle p\)...

[dan95]

Non vorrei sbagliarmi come ho fatto all'altro post ma mi pare che manchi da dimostrare l'irriducibilità di $m^pn-1$ e $m^pn+1$, che non credo dia molti problemi.

[j18eos]

Più che la irriducibilità, che non è vera in generale, si deve proseguire il ragionamento utilizzando la scomposizione in fattori primi dei termini \(\displaystyle m^pn-1\) ed \(\displaystyle m^pn+1\); e dimostrare che almeno un fattore primo non divide i termini a sinistra di quella eguaglianza (in \(\displaystyle R\))!

EDIT Un passo sicuro, è dimostrare che \(\displaystyle m^2\sqrt[p]{n^2}-1\) è un elemento primo di \(\displaystyle R\) (a meno di qualche ipotesi su \(\displaystyle m\)).

[Martino]

Per esempio procedo quando \( \displaystyle p=3 \) . Detto \( \displaystyle \alpha = \sqrt[3]{4} \) si ha \( \displaystyle \alpha^3 = 4 = 2^2 \) . Se \( \displaystyle R = \mathbb{Z}[\alpha] \) fosse un UFD allora da \( \displaystyle \alpha^3 = 2^2 \) seguirebbe che \( \displaystyle 2 \) è un cubo in \( \displaystyle R \) (!) (questo è un argomento tipico).

Dim: basta mostrare che se un irriducibile \( \displaystyle a \) divide \( \displaystyle 2 \) allora detta \( \displaystyle a^k \) la massima potenza di \( \displaystyle a \) che divide \( \displaystyle 2 \) , \( \displaystyle k \) è un multiplo di \( \displaystyle 3 \) (perché allora \( \displaystyle 2 \) risulta essere un prodotto di cubi e quindi un cubo). Scrivendo \( \displaystyle 2 = a^k b \) e \( \displaystyle \alpha = a^h c \) con \( \displaystyle a \) che non divide \( \displaystyle c \) allora \( \displaystyle a^{2k} b^2 = 2^2 = \alpha^3 = a^{3h} c^3 \) da cui per la fattorizzazione unica \( \displaystyle 2k = 3h \) quindi \( \displaystyle 3 \) divide \( \displaystyle k \) . []

Ma \( \displaystyle 2 \) non è un cubo. Infatti prendiamo \( \displaystyle \beta \in R \) con \( \displaystyle \beta^3 = 2 \) . Siccome \( \displaystyle R \subseteq \mathbb{R} \) ne deduciamo, per come sono fatte le radici terze di \( \displaystyle 2 \) in \( \displaystyle \mathbb{C} \) , che \( \displaystyle \beta = \sqrt[3]{2} \in R \) da cui \( \displaystyle \beta^2 = \alpha \) e \( \displaystyle \beta \in R = \mathbb{Z}[\beta^2] \) , cioè esistono \( \displaystyle a,b,c \in \mathbb{Z} \) con \( \displaystyle \beta = a + b \beta^2 + c \beta^4 = a+2c\beta + b \beta^2 \) . Deduciamo che \( \displaystyle a+(2c-1)\beta+b\beta^2 = 0 \) da cui per l'indipendenza lineare di \( \displaystyle 1,\beta,\beta^2 \) si ha \( \displaystyle 2c=1 \) che è assurdo essendo \( \displaystyle c \in \mathbb{Z} \) .

Credo che si possa facilmente generalizzare a tutti i \( \displaystyle p > 2 \) . L'ipotesi che \( \displaystyle p \) è primo non mi pare che serva.

[j18eos]

Siano \(\displaystyle d\) un numero dispari, \(\displaystyle n\) un numero intero tale che \(\displaystyle\sqrt[d]{n^2}\not\in\mathbb{Z}\) ed \(\displaystyle R=\mathbb{Z}\left[\sqrt[d]{n^2}\right]\)

Proposizione 1: L'elemento \(\displaystyle m^2\sqrt[d]{n^2}-1\) è primo in \(\displaystyle R\); con \(\displaystyle m\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}\).

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Dimostrazione: Considerata la proiezione canonica:
\[
\pi:\mathbb{Z}[t]\to R=\mathbb{Z}[t]_{\displaystyle/\left(t^d-n^2\right)}
\]
si ha che:
\[
\pi^{-1}\left(\left(m^2\sqrt[d]{n^2}-1\right)\right)=(m^2t-1)\in Spec \mathbb{Z}[t]
\]
quindi \(\displaystyle m^2\sqrt[d]{n^2}-1\) è un elemento primo di \(\displaystyle R\).
Infatti:
\[
\pi\left(\left(m^2t-1\right)\right)=\left(m^2\sqrt[d]{n^2}-1\right)
\]
e l'immagine di un ideale primo mediante un morfismo suriettivo di anelli (commutativi con unità) è un ideale primo¹. \(\displaystyle\Box\)

Proposizione 2: Sia \(\displaystyle p\in\mathbb{P}\) (un numero intero primo); allora \(\displaystyle p\) è un elemento primo di \(\displaystyle R\).

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Dimostrazione: Basta ripetere la dimostrazione della proposizione 1. \(\displaystyle\Box\)

Si ha che:
\[
\left(m^2\sqrt[d]{n^2}-1\right)\left[1+m^2\sqrt[d]{n^2}+\dots+\left(m^2\sqrt[d]{n^2}\right)^{d-1}\right]=m^{2d}n^2-1=(m^dn-1)(m^dn+1)
\]
scomponendo il membro di destra in numeri (interi) primi, si ha per le proposizioni 1 e 2 che \(\displaystyle m^{2d}n^2-1\) ha (almeno) due fattorizzazioni distinte in \(\displaystyle R\); quindi \(\displaystyle R\) non è un U.F.D.

Quod erat demonstrandum \(\displaystyle\Box\)

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Note

1. Per i dubbiosi: click! ↑

[Martino]

Mi sa che c'è un problema:

l'immagine di un ideale primo mediante un morfismo suriettivo di anelli (commutativi con unità) è un ideale primo

No, questo è falso nel link che tu stesso hai dato è specificato che gli ideali primi che si comportano come dici sono quelli che contengono il nucleo. E nei casi che servono a te l'ideale che prendi a sinistra non contiene il nucleo.

Controesempi sono \( \displaystyle \mathbb{R}[X] \to \mathbb{C} \) , \( \displaystyle P(X) \mapsto P(i) \) (qui \( \displaystyle (X) \) viene mandato in \( \displaystyle (i) = \mathbb{C} \) ) oppure considera \( \displaystyle \mathbb{Z}[X] \to \mathbb{Z}[i] \) (sempre la valutazione in \( \displaystyle i \) ) dove p. es. \( \displaystyle (2) \) , che è primo in \( \displaystyle \mathbb{Z}[X] \) , viene mandato in \( \displaystyle (2) \) che non è primo in \( \displaystyle \mathbb{Z}[i] \) (infatti \( \displaystyle 2 = (1+i)(1-i) \) ). Oppure anche la riduzione \( \displaystyle \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \) , qui \( \displaystyle (2) \) viene mandato in \( \displaystyle \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \) .