Esercizi sugli anelli

[darkfog]

Salve ragazzi! Ho qui un po' di esercizi sugli anelli, come al solito qualcosa non quadra o qualquadra non cosa. Il primo sembra molto banale ma non so se lo sia davvero, mi sento un po' stupido a non capirlo.

1.1
Sia A un anello commutativo con identità $1$. Provare per ogni $a,b in A$ le seguenti relazioni (tra le quali la regoletta del "$- * - = +$"):
a) $-(ab) = -(a)b = a(-b)$
b) $(-1)^2=1$
c) $(-a)^2=a^2$
d) $(-a)(-b)=ab$
e) $-(a-b) = -a+b$
f) $-(-a)=a$
g) $(-1)^n=1$ se $n$ è un intero pari e $(-1)^n=-1$ se $n$ è un intero dispari.

1.2
Sia A un anello commutativo con identità e sia $\phi$ una relazione $a\phib$ se e solo se $a$ e $b$ sono associati.
- Provare che $\phi$ è una relazione di equivalenza in A.
- Posto $A = ZZ$, determinare $ZZ_{/\phi}$
- E' vero che $[a]+[b ] = [a+b]$ è un'operazione ben definita nell'insieme quoziente $ZZ_{/\phi}$ ?

1.3
Si consideri l'anello $ZZ_11$ con la somma e il prodotto usuali
$[a]+[b ]=[a+b]$
$[a]*[b ]=[a*b]$
- Stabilire quali sono le unità in $ZZ_11$
- Trovare gli elementi associati a $[2]$ in $ZZ_11$
- Stabilire se $[4]$ è irriducibile o no, in $ZZ_11$
_____

Svolgimento 1.1
Date le proprietà di un anello...:
- Proprietà associativa
- Commutativa
- Esistenza dell'elemento neutro ($0$ per la somma, $1$ per il prodotto)
- Esistenza dell'inverso($-a$ per la somma, $a^-1$ per il prodotto)
- Proprietà associativa del prodotto rispetto alla somma
... dovrebbe risultare semplice muoversi con questo esercizio ma non credo di avere la dimestichezza adatta a svolgerlo, in pratica non saprei quali potrebbero essere i giusti passaggi per arrivare alla conclusione richiesta, ma io ci provo!

a) $-(ab) = -(a)b = a(-b)$
$-(ab)=-ab=-1*a*1*b=1(-a*b)=-1(a)b=a(-1(b))=a(-b)$

b) $(-1)^2=1$
$(-1)^2 = (-1)(-1) =1(-1)(-1)= 1(1)= 1$

c) $(-a)^2=a^2$
$(-a)^2=(-a)(-a)= 1(-a)(-a)= 1(a^2)= a^2$

d) $(-a)(-b)=ab$
$(-a)(-b)=1(-a)1(-b)=-1(a)1(-b)=-(a(-b))= -(a(-1)(b))= -(-a(b))= ab$

e) $-(a-b) = -a+b$
$-(a-b) = -1(a)-(-1(b)) = -1(a)-(-b) = -1(a)+b = -a+b$

f) $-(-a)=a$
$-(-a) = -1(-1(a)) = -(-1(a)) = (1(a)) = a$

g) $(-1)^n=1$ se $n$ è un intero pari e $(-1)^n=-1$ se $n$ è un intero dispari.
$(-1)^n=1$ se $n$ è un intero pari: $(-1)^{2n} = [(-1)^2]^n = [(-1)(-1)]^n = (1)^n = 1$
$(-1)^n=-1$ se $n$ è un intero dispari: $(-1)^{2n+1} = (-1)^{2n}*(-1) = [(-1)^2]^n * (-1) = [(-1)(-1)]^n *(-1) = (1)^n * (-1) = -1$


Svolgimento 1.2
$a$ e $b$ si dicono elementi associati se esiste un'unità $u in A$ t.c. $a=ub$ e quindi $b=u^-1a$
Dato che siamo in $ZZ$, le unità sono $1$ e $-1$.
quindi ci chiediamo: $\phi$ è relazione di equivalenza? Proviamolo!
- E' riflessiva?
$a\phia rArr a=ua rArr a=1*a rArr a=a$
- E' simmetrica?
$a\phib rArr a=ub rArr a=b$
$b\phia rArr b=ua rArr b=a$
E' transitiva?
$a\phib rArr a=ub$
$b\phic rArr b=uc$
$a\phic rArr a+b=ub+uc rArr a=uc rArr a=c$


Determiniamo $ZZ_{/\phi}$

$ZZ_{/\phi} = {[a]|a in ZZ}$
$[a]={b in ZZ | b \phi a}$

$b=ua$
sappiamo che la nostra relazione $a \phi b$ ci dice che $a=ub$ quindi sostituiamo $b=ua$ in $a=ub$ (giusto )
$a=u(ua) rArr a=(u*u)*a rArr a=a$
quindi il nostro insieme quoziente è formato dalle classi di equivalenza nella forma $a=a$ (esatto )


Verifichiamo con elementi arbitrari $in ZZ$ che le operazioni somma e prodotto sulle classi di resto sono ben definite:
$[1]+[1] = [2] = [1+1]$
$[2]*[2] = [4] = [2*2]$


Svolgimento 1.3
Anello $ZZ_11$ con somma e prodotto usuali sulle classi di resto
$[a]+[b ]=[a+b]$
$[a]*[b ]=[a*b]$

Stabiliamo quali sono le unità:
un elemento $u$ si dice unità (o elemento invertibile) se in $ZZ_11$ esiste il suo inverso rispetto al prodotto denotato con $u^-1$ t.c. $u*u^-1 = u^-1*u = 1$
Quindi
Gli elementi in $ZZ_11$ sono {[0],[1],[2] ,[3] ,[4] ,[5] ,[6] ,[7] ,[8] ,[9] ,[10]}
L'unità è denotata con $[u]*[u^-1]=[1]$ (giusto )
Quindi le sue unità sono:
$[3]*[4] = [1]$
$[2]*[6] = [1]$
$[5]*[9] = [1]$
(quello che non ho capito è se le unità sono 3,2,5 oppure tutte e sei (3,4,2,6,5,9))

Cerchiamo gli elementi associati a $[2]$ t.c. $[2] = [u*b]$
gli elementi associati sono:
$[2] = [5*7]$
$[2] = [9*10]$

Ora l'esercizio ci chiede se la classe $[4]$ è irriducibile oppure no.
un elemento si dice irriducibile se non è riducibile, ossia se non si può decomporre in un prodotto tranne che nel prodotto di un'unità per un elemento associato ad esso.
Quindi $[4]$ non è irriducibile in $ZZ_11$, quindi è riducibile perchè si può scrivere come:
$[4] = [3] * [5]$


Aspetto vostre correzioni e suggerimenti

[onlyReferee]

Ciao darkfog e ben ritrovato
Allora, prima di rivedere in toto gli svolgimenti dei vari esercizi mi permetto di farti notare che alcune delle proprietà degli anelli che hai scritto sono errate (o comunque non sono scritte nella maniera corretta).
Riguardo al primo esercizio vi sono alcune proprietà (la prima sicuramente) che si possono dedurre direttamente da quelle degli anelli. Ricordiamoci infatti che abbiamo davanti prima di tutto un anello che, nella fattispecie, è anche unitario. Con ciò voglio dire che talvolta può bastare sfruttare le proprietà degli anelli (non unitari).

[onlyReferee]

Per provare le varie proprietà presenti nell'esercizio $1$ conviene procedere secondo un determinato ordine. Inoltre bisogna iniziare tenendo presente che vale la seguente proprietà, detta legge di cancellazione: dato un anello $(A, +, \cdot, 1_{+})$, $\forall a, b, c \in A$ si ha che $a + b = a + c \Rightarrow b = c$. A partire da tale proprietà si prova successivamente che $a \cdot 0 = 0 \cdot a = 0$ (anche questa ci serve). Ora ci conviene procedere provando le proprietà che hai trascritto secondo l'ordine seguente: f, a, d, c, e, b, g. Considera che soltanto b e g richiedono che l'anello abbia l'elemento identità per l'operazione prodotto (o che, equivalentemente in altre parole, l'anello sia unitario).
Infine tieni conto che in realtà la proprietà f è banale in quanto deriva direttamente dalla definizione di $-a$.

[darkfog]

ciao onlyReferee! Grazie per i tuoi interventi

Allora... parlando dell'esercizio 1.1 , sono andato a rileggermi sulle dispense le proprietà degli anelli però continuo a non capire quale ragionamento devo applicare per dimostrare perfettamente ogni punto dell'esercizio.

riguardo il punto f) per dimostrare che $-(-a)=a$, basta applicare la regoletta del " $- * - = +$ " ? o bisogna arrivare ad ottenere $0 = 0$ con la legge di cancellazione? Cioè sommando a sinistra e a destra $-a$ ottengo $-a-(-a)=a-a rArr 0 = 0$ però sono sempre punto e a capo perchè non so come dimostrare che $-(-a)$ equivale ad $a$. Così con tutti gli altri esercizi... non saprei proprio da dove partire e quale proprietà applicare ad ogni punto. E soprattutto: ogni punto corrisponde ad una ed una sola proprietà da applicare o si possono applicare più proprietà per dimostrare ogni uguaglianza?

per quanto riguarda a) $−(ab)=−(a)b=a(−b)$
anche qui non saprei quale passaggio effettuare per ottenere le uguaglianze. Nel senso: io guardo l'esercizio e dico: "ok, tutti sanno che $-(ab)$, $-(a)b$ e $a(-b)$ producono lo stesso risultato perchè la moltiplicazione è commutativa quindi $ab=ba$ e anche $-ab=-ba$ ma in pratica non so come procedere per dimostrarlo effettivamente

e così con tutti gli altri esercizi... vorrei solo capire come muovermi. Io provo a seguire gli esempi nelle dispense ma applicandole a questi esercizi non ci arrivo. Ad esempio trascrivo ora una proprietà con dimostrazione e ti chiedo: "è questo lo spirito di queste dimostrazioni? cioè, bisogna moltiplicare o sommare per l'elemento neutro o moltiplicare e sommare per l'opposto per arrivare ad una conclusione? E in che modo? Qual'è il modo migliore per capire questo tipo di esercizi?"

Proprietà di un anello: " l'opposto $-a$ di un elemento $a in A$ è $(-1)*a$ "
Dimostrazione: Proviamo che $(-1)*a$ soddisfa le condizioni per essere l'opposto di $a$.
Si ha:
$a+(-1)*a=$
$=1*a+(-1)*a=$
$=(1+(-1))*a=0*a =$
$= 0*a=0$
e quindi $a+(-1)*a=0$

[onlyReferee]

Ciao darkfog
In realtà ogni esercizio ha una storia a sé: in alcuni bisogna sfruttare gli elementi neutro ed identità moltiplicando entrambi i membri di un'ugugualianza per gli stessi, in altri invece si procede sfruttando sia le proprietà degli anelli che le uguaglianze già provate.
Parto dal punto f che è molto semplice. Se noi vogliamo dimostrare che $-(-a) = 0$ dobbiamo mostrare che $a + (-a) = 0$. Questo però è banalmente vero per la definizione di opposto di $a$ rispetto all'operazione $+$ e pertanto non è necessario procedere oltre .
Passiamo al punto a. Per provare questo punto ci è utile provare prima quest'altra proprietà: $a \cdot 0 = 0$. Vediamo come farlo. Innanzitutto posso partire sommando $0$ a $a \cdot 0$ in quanto questo è l'elemento neutro dell'operazione $+$, ottenendo $a \cdot 0 + 0$. Ritorno ora al mio $a \cdot 0$ iniziale (dopo capirai perché). Al momento scrivo dunque:
$$
a \cdot 0 + 0 = a \cdot 0.
$$
Ora riscrivo il mio $0$ nella seconda parte dell'uguaglianza come $0 + 0$:
$$
a \cdot 0 + 0 = a \cdot 0 = a \cdot (0 + 0).
$$
Applico la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alla somma (una delle proprietà di un anello):
$$
a \cdot 0 + 0 = a \cdot 0 = a \cdot (0 + 0) = a \cdot 0 + a \cdot 0.
$$
Adesso viene il bello perché posso applicare la legge di cancellazione alla prima e l'ultima parte della mia catena di uguaglianze, ottenendo:
$$
a \cdot 0 + 0 = a \cdot 0 + a \cdot 0.
$$
Da qui deduco che $0 = a \cdot 0$. Ovviamente è del tutto simmetrica la dimostrazione per $0 \cdot a = 0$.
Veniamo dunque a dimostrare la proprietà al punto a, ossia $a(-b) = (-a)b = -(ab)$. Procediamo mostrando che $a(-b) = -(ab)$ (per mostrare che $(-a)b = -(ab)$ si procede di fatto allo stesso modo). Allora, dimostrare che $a(-b) = -(ab)$ è come provare che $a(-b) + (ab) = 0$. Anche qui applichiamo la proprietà distributiva già citata, ottenendo:
$$
a(-b) + (ab) = a (b - b).
$$
Faccio notare che siccome la somma è commutativa (proprietà degli anelli) siamo liberi di scrivere indifferentemente $a (-b +b)$ e $a (b - b)$. Ora per la definizione di elemento opposto rispetto all'operazione somma si ha che $b - b = 0$ e pertanto abbiamo:
$$
a(-b) + (ab) = a (b - b) = a 0 = 0.
$$
Se ci fai caso l'ultima uguaglianza l'abbiamo dimostrata giusto prima .

[darkfog]

ciao onlyReferee! Continuando il discorso dell'esercizio 1.1 ... Spero di aver capito, ma continuo ad avere dei dubbi perchè alcuni dei miei svolgimenti sembrano un po' banali e credo di non aver applicato le proprietà adatte.

a) $-(ab)=(-a)b=a(-b)$
Allora, dobbiamo provare che $-(ab)=a(-b)$
Scrivo: $-(ab)-a(-b)=0$
Si ottiene: $-(ab)-a(-b)=(ab)+a(-b)=a(b-b)=a(0)=0$

b) $(-1)^2=1$
Dobbiamo provare che $(-1)^2-1=0$
Otteniamo: $(-1)^2-1=(-1)(-1)-1=-(1(-1))-1=-(-1(1))-1=(1*1)-1=1-1=0$

c) $(-a)^2=a^2$
Proviamo che $(-a)^2-a^2=0$
Abbiamo che: $(-a)^2-a^2=(-a)(-a)-(a*a)=-(a(-a))-(a*a)=-(-a(a))-(a*a)=$
$=(a*a)-(a*a)=a^2-a^2=0$

d) $(-a)(-b)=ab$
Proviamo che $(-a)(-b)-ab=0$
Allora: $(-a)(-b)-ab=-(a(-b))-ab=$...(cambio segno)...$=(a(-b))+ab=a(b-b)=a(0)=0$

e) $-(a-b)=-a+b$
Proviamo che $-(a-b)+a-b=0$
Si ha: $-(a-b)+a-b=$...(cambio segno)...$=(a-b)-a+b=(a-a)+(b-b)=0+0=0$

f) $-(-a)=a$
Proviamo che $-(-a)-a=0$
Abbiamo: $-(-a)-a=(-a)+a=(a-a)=0$

g) $(-1)^n=1$ se $n$ è pari
Proviamo che $(-1)^{2n}-1=0$
SI ha: $(-1)^{2n}-1=[(-1)^2]^n-1=[(-1)(-1)]^n-1=(1)^n-1=1-1=0$

$(-1)^n=-1$ se $n$ è dispari
Proviamo che $(-1)^{2n+1}+1=0$
Si ha: $(-1)^{2n+1}+1=[(-1)^2]^n(-1)+1=[(-1)(-1)]^n(-1)+1=(1)^n(-1)+1=$
$=(1*(-1))+1=(-1+1)=0$

[onlyReferee]

Ciao darkfog
Allora, andiamo con ordine:

1. Ok:
2. Per provare questa proprietà conviene prima provare che $(-1)a = -a$. Per far ciò possiamo provare in modo equivalente che $(-1)a +a = 0$. Scriviamo allora:
   $$(-1)a +a = (-1)a + 1 a = (-1 + 1)a = 0 a = 0$$
   Se ricordi l'ultima uguaglianza di questa catena l'avevamo già provata in un mio post precedente.
   Ora per provare la proprietà è sufficiente sostituire $a = -1$ nella precedente ed applicare la f (che abbiamo già dimostrato). Queste due proprietà valgono solo perché abbiamo un anello con unità;
3. La tua idea è buona però arrivati alla conclusione siamo punto e a capo perché bisognerebbe provare anche che $a^2 -a^2 = 0$ . Esiste una strada più semplice. Come hai giustamente scritto all'inizio della dimostrazione ci conviene dimostrare che $(-a)^2 -a^2 = 0$. Possiamo dunque scrivere $(-a)^2 -a^2 = (-a)(-a) - (aa)$. Ora ricordandoci la proprietà al punto a che abbiamo già dimostrato possiamo applicarla al secondo termine della nostra differenza (nel nostro caso poniamo banalmente $a = b$ nella proprietà a). Otteniamo così: $$(-a)^2 -a^2 = (-a)(-a) - (aa) = (-a)(-a) + (-a)a = (-a)(a - a) = (-a) 0 = 0.$$
   Anche l'ultima uguaglianza della catena l'abbiamo già dimostrata;
4. In questo caso si può procedere applicando due volte la a. Non mi è chiaro nella tua dimostrazione il passaggio in cui cambi il segno a tutti i termini della somma.
   Abbiamo:
   $$(-a)(-b) = -(a(-b)) = -(-(ab)) = -(-ab).$$
   Ora applichiamo banalmente la f ottenendo $ab$ come volevamo dimostrare.
5. Il cambio di segno ad una somma di due termini purtroppo non è un'operazione così automatica come siamo abituati usualmente a fare nei calcoli. Un modo semplice per provare questa proprietà secondo me è porre $a - b = c$, ottenendo dunque:
   $$
   -(a - b) + a - b = 0\\
   -c + c = 0.
   $$
   Da qui dopo si deduce facilmente la tesi;
6. Ok;
7. In questo punto e nel successivo basta che sfrutti la proprietà b che abbiamo già dimostrato. E' sufficiente scomporre l'esponente della potenza come hai fatto a seconda che $n$ sia pari o dispari. Non occorre dimostrare l'uguaglianza a zero di $(-1)^{2n} -1$ e $(-1)^{2n + 1} +1$.

[darkfog]

Accipicchia! ok! ora devo riordinare un po' le idee. vediamo se ho capito.
Abbiamo delle proprietà che dobbiamo sfruttare per arrivare a dimostrare tutte le uguaglianze. Praticamente dobbiamo trasformare le nostre uguaglianze arrivando a farle prendere una forma tale da poter applicare una delle proprietà. Giusto?

Sono riuscito a capire tutti i punti. Ora sta a me imparare e riuscire a capire quali proprietà applicare, quando e dove applicarle.

L'unico dubbio che mi è rimasto adesso è il pungo g).
Non ho capito come applicare la proprietà di b) in g). Dimmi se il mio ragionamento è corretto:

se dobbiamo ottenere "$(-1)^n=1$ se $n$ è pari", applicando la proprietà di b) in g) $(-1)a=-a$ avremmo $(-1)(-a)=a$

$(-1)^{2n}=[(-1)^2]^n=[(-1)(-1)]^n=$ (applico la proprietà) $=(1)^n=1$

[onlyReferee]

Il ragionamento tuo per $(-1)^n = 1$ con $n$ pari è quasi esatto. Forse non mi sono spiegato benissimo. In realtà ciò che dobbiamo sfruttare è la proprietà vera e propria $(-1)(-1) = 1$, non $(-1)a = -a$.
Poi ti conviene riscrivere $(-1)^{2n}$ come $[(-1)^n]^2$ (se noti ho invertito l'ordine degli esponenti). In questo modo hai all'interno delle parentesi più interne una potenza che può dare come risultato $(+1)$ o $(-1)$ ma poi dato che questo valore è elevato al quadrato avremmo un numero pari di $(-1)$ che vengono moltiplicati tra loro. Ora poiché abbiamo visto per la b che $(-1)(-1) = 1$ allora a maggior ragione il nostro risultato sarà $1$ moltiplicando tra loro un numero pari di $(-1)$ .
Un ragionamento analogo basta farlo anche nel caso di $n$ dispari e siamo a posto .

[darkfog]

Ok, ora ho capito però ho un dubbio sul quale vorrei ragionare insieme a te.
Se eleviamo prima per $n$ e poi per $2$ otteniamo:

$(-1)^n=1$ se $n$ è pari
$(-1)^{2n}=[(-1)^n]^2=(-1)^n*(-1)^n=(-1)(-1)$ ma dato che $n$ si suppone sia pari, non dovremmo ottenere $(1)(1)$ ? cioè $(-1)^n$ con $n$ pari $=$ $(1)$

mentre se eleviamo prima per $2$ e poi per $n$ abbiamo $[(-1)^2]^n=[(-1)(-1)]^n$ poi all'interno delle quadre otteniamo $(1)^n$ e quindi qui possiamo dire che il risultato di $1$, elevato a qualsiasi numero (pari o dispari), è sempre 1.

poi per $n$ dispari abbiamo $[(-1)(-1)]^n *(-1)$ quindi $(1)^n*(-1)$ e possiamo dire che il risultato di 1 elevato ad n (pari o dispari) è sempre 1 e quindi $1*(-1)=-1$

Sbaglio? C'è qualcosa che sto trascurando?