Esercizio sul calcolo combinatorio

[galois23]

Ciao Ragazzi, qualcuno mi può aiutare a risolvere questo problema:

64 persone sono state invitate ad un matrimonio. Di questi, 24 sono parenti del marito, 24 parenti della moglie e 16 sono amici di entrambi. Devo dire quanti modi ci sono di organizzare gli invitati in 8 tavoli da 8 posti nel caso in cui:

1. non c'è nessuna restrizione;

2. i parenti della moglie, del parenti e gli amici comuni sono in tavoli separati;

3. in ogni tavolo c'è almeno un esponente di ciascuna categoria.


Per il punto 1. avevo pensato di utilizzare il principio delle scelte multiple moltiplicando il numero delle combinazioni di 64 di classe 8, per 8! (permutazioni delle 8 persone scelte all'interno di un tavolo) per 8 (numero dei tavoli).

Ma non sono sicuro che il ragionamento sia giusto. Ogni volta ho il dubbio "conta l'ordine? O no?"

Si accettano suggerimenti, anche generici per capire come operare in caso di esercizi del genere.
Grazie a tutti e buona domenica!

[onlyReferee]

Ciao galois23
Andiamo con ordine, assumendo che l'ordine delle stesse persone all'interno dello stesso tavolo sia per noi ininfluente ma lo è invece tra i tavoli a cui può sedere la persona:

1. Quello che tu dici è corretto ma...di fatto è come dire che usiamo nel nostro calcolo l'insieme delle disposizioni semplici di $64$ elementi in classe $8$ D'altra parte è come affermare prima che l'ordine non conta poi però di fatto lo si reintroduce (con quell'$8!$ per cui poi moltiplichi). D'altra parte, a conferma di ciò: $C_{64, 8} \cdot 8! = \frac{64!}{56! 8 !}\cdot 8! = \frac{64!}{56!} = D_{64, 8}$ ;
2. In questo caso bisogna che prima scegli i tre possibili tavoli in cui vanno a sedersi i parenti della moglie, poi i successivi tre a cui siedono i parenti del marito ed infine i tre a cui siedono gli amici di entrambi. Ovviamente poi ciascuna di queste quantità la moltiplichi per i modi in cui puoi far sedere rispettivamente tre, tre e due persone diverse per ciascuna categoria ai tavoli (l'ordine lo abbiamo già considerato al punto precedente);
3. Qui bisogna che determini prima i possibili modi in cui puoi scegliere i vari "rappresentanti" per ciascun tavolo per ogni categoria (in modo da soddisfare il vincolo richiesto) e poi determini i modi possibili in cui puoi far sedere le rimanenti persone (senza vincoli).

Può sembrare complesso detto così ma vedrai che alla fine non è nulla di astruso.
Spero intanto di averti illuminato, in caso chiedi pure.

[galois23]

Per il primo punto, vorrei capire come mai nelle disposizioni che considero non influisce il numero dei tavoli. Una volta che ho fissato un gruppo di 8 persone tra tutti i 64 invitati è irrilevante il tavolo in cui si siedono??

Per il punto 2, sono arrivato al seguente risultato:

\(\displaystyle C_{8,3} *C_{5,3} * (D_{24,8})^2 * C_{2,2} * D_{16,8}\)

E' corretto? O tutte le disposizioni che ho considerato, in realtà sono combinazioni? (Ah, io ho interpretato il punto dell'esercizio nel seguente modo: in 3 tavoli ho i parenti della moglie, in 3 tavoli quelli del marito e in 2 gli amici (separati in questo senso).

Per il terzo punto, invece ho considerato che i rappresentanti per ogni categoria sono 24, 24 e 16. Fissato un rappresentante per ognuno, restano 5 posti, ma stavolta la scelta non devo più farla su 64 invitati, ma su 64-3 (che sarebbero i 3 rappresentanti), e quindi il risultato dovrebbe essere (secondo il mio ragionamento)

\(\displaystyle 24*24*16*D_{61,5 }\).

(Anche qui, gli 8 tavoli non influiscono??)

Che mi dici??? Dove avrò sbagliato?

[superpippone]

1) $C_(64,8)$ sono i possibili "ottetti" che posso ottenere.
Cioè, in questo caso, le diverse possibili "popolazioni" del primo tavolo.
Poi, però, ci sono anche gli altri sette tavoli.
Per cui io direi:

$(64!)/(8!)^8$

2) $(24!)/(8!)^3*(24!)/(8!)^3*(16!)/(8!)^2*(8!)/(3!*3!*2!)$

[superpippone]

3) Provo.....
Metto un rappresentante di ogni categoria per ogni tavolo, per un totale di 24.
Gli altri 40, dove capita:

$(24^2*16*23^2*15*22^2*14*21^2*13*20^2*12*19^2*11*18^2*10*17^2*9)/(3!)^8*(40!)/(5!)^8$

Semplificando un po':

$[(24!)^2*16!]/[(16!)^2*8!*(3!)^8]*(40!)/(5!)^8$

[onlyReferee]

Ti rispondo un punto per volta.

Per il primo punto, vorrei capire come mai nelle disposizioni che considero non influisce il numero dei tavoli. Una volta che ho fissato un gruppo di 8 persone tra tutti i 64 invitati è irrilevante il tavolo in cui si siedono??
[...]

No, quello che intendo dire è che il posto in cui una persona si siede una volta fissato il tavolo è irrilevante, il numero del tavolo a cui si siede invece sì. Quindi possiamo affermare che conta l'ordine quando scelgo il tavolo ma non conta più successivamente perché il fatto che la persona si sieda al primo, secondo, ..., ottavo posto dello stesso tavolo (quello appena scelto) è per noi indifferente.
[/quote]

[..]
Per il punto 2, sono arrivato al seguente risultato:

\(\displaystyle C_{8,3} *C_{5,3} * (D_{24,8})^2 * C_{2,2} * D_{16,8}\)

E' corretto? O tutte le disposizioni che ho considerato, in realtà sono combinazioni? (Ah, io ho interpretato il punto dell'esercizio nel seguente modo: in 3 tavoli ho i parenti della moglie, in 3 tavoli quelli del marito e in 2 gli amici (separati in questo senso).
[...]

La tua interpretazione dell'esercizio è corretta ma la formula finale per contare gli elementi ancora no. Intanto nella formula bisogna che inverti le $C$ con le $D$ poiché quelle che hai messo come combinazioni sono in realtà disposizioni. Poi, come scrivevo nel mio post precedente, una volta che hai scelto i tavoli (e questo lo facciamo con le disposizioni) bisogna che determini i modi in cui puoi scegliere le $3, 3, 2$ persone per ciascuna categoria rispettivamente di $24, 24, 16$ persone. Ora dovresti riuscire a capire come va modificata semplicemente la tua formula.

[...]
Per il terzo punto, invece ho considerato che i rappresentanti per ogni categoria sono 24, 24 e 16. Fissato un rappresentante per ognuno, restano 5 posti, ma stavolta la scelta non devo più farla su 64 invitati, ma su 64-3 (che sarebbero i 3 rappresentanti), e quindi il risultato dovrebbe essere (secondo il mio ragionamento)

\(\displaystyle 24*24*16*D_{61,5 }\).

(Anche qui, gli 8 tavoli non influiscono??)

Che mi dici??? Dove avrò sbagliato?

No, qui non ci siamo. Per assicurarti di avere almeno un rappresentante di ciascuna categoria in tutti gli otto tavoli è più conveniente scegliere prima la tua serie di $8$ rappresentanti (per ciascuna categoria di $24, 24, 16$ persone) sempre considerando che è importante il numero del tavolo a cui si siedono (quindi usiamo disposizioni o combinazioni ). Ora è sufficiente togliere le $8 \times 3 = 24$ persone selezionate dalle $64$ scelte inizialmente ed a partire da queste determinare in quanti modi posso assegnarle ai tavoli in modo da completare i posti restanti per ciascun tavolo (senza vincoli questa volta).