problema vettori indipendenti

[bellrodo]

Salve a tutti, non riesco a risolvere un problema di algebra lineare.
Il problema è il seguente:

Siano v1,v2 e v3 tre vettori linearmente indipendenti di uno spazio vettoriale V. Dimostrare che v1+v2, v2+v3 e v1+v3 sono linearmente indipendenti.

Allora, io so che per vedere se tre vettori sono linearmente indipendenti bisogna procedere così:

x(i,j,k)+y(i1,j1,k1)+z(i2,j2,k2) = (0,0,0) ovvero se e solo se x=y=z=0

Ma mi trovo in difficoltà a rispondere al quesito che mi viene chiesto.
Come devo comportarmi di fronte ad un esercizio simile?

Spero che qualcuno mi risponda.

[kobeilprofeta]

Chiamo u,v,z i vettori e a,b,c gli scalari
Per assurdo esistano a,b,c t.c.
$a(u+v)+b(v+z)+c(u+z)=0$ ma quello è uguale a
$(a+c)*u+(a+b)*v+(b+c)*c$ ma ponendo
${(a'=a+c),(b'=a+b),(c'=b+c):}$ trovo una comb lin che mi rende u,v,z lin dipendenti. Assurdo.

[alessandro8]

Ciao.

Si potrebbe provare in questo modo.

Si consideri

$a(v_1+v_2)+b(v_2+v_3)+c(v_1+v_3)=0$

si deve dimostrare che $a=b=c=0$ è l'unica possibilità di annullare la combinazione lineare sopra scritta.

Allora vale

$(a+c)v_1+(a+b)v_2+(b+c)v_3=0$

Siccome i tre vettori dati $v_1,v_2,v_3$ sono linearmente indipendenti, allora si deve avere

${(a+c=0),(a+b=0),(b+c=0):}$

che ammette, come unica soluzione

${(a=0),(b=0),(c=0):}$

Saluti.

[bellrodo]

grazie per le risposte...

però scusa, se fosse come dici tu, che:

a+c=0
a+b=0
b+c=0

implica che a=-c

quindi sostituisco nell equazione successiva e ottengo -c=-b

sostituendo nell ultima equazione ottengo b+b=0 e questo è evidente che è impossibile....

[axpgn]

Ma hai letto quello che ha scritto?

Peraltro $2b=0$ non è un'equazione né impossibile né indeterminata ma $(2b)/2=0/2\ =>\ b=0$ ...

[bellrodo]

ahahah hai perfettamente ragione!!! ho detto una grandissima cavolata...
grazie a tutti!

[alessandro8]

ahahah hai perfettamente ragione!!! ho detto una grandissima cavolata...
grazie a tutti!

Nessun problema, succede anche a me, di tanto in tanto (anche quando non dovrebbe, ahimè); l'importante è chiarirsi.

Saluti.

[vict85]

Chiama \(W=\mathcal{L}(\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3)\), il sottospazio generato dai tre vettori. Siccome sono linearmente indipendenti si ha che \(\dim(W)=3\). Considera quindi la applicazione lineare \(f\) da \(W\) in \(W\) data da \(f(\mathbf{v}_1)=\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2\), \(f(\mathbf{v}_2)=\mathbf{v}_2+\mathbf{v}_3\) e \(f(\mathbf{v}_3)=\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_3\). Devi dimostrare che è un isomorfismo lineare/cambio di base. In altre parole ti basta dimostrare che \(\displaystyle\begin{pmatrix}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1\end{pmatrix}\) è invertibile/ha rango massimo.

Insomma è un metodo alternativo per farlo.

[bellrodo]

grazie ancora,

Chiama \( W=\mathcal{L}(\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3) \), il sottospazio generato dai tre vettori. Siccome sono linearmente indipendenti si ha che \( \dim(W)=3 \). Considera quindi la applicazione lineare \( f \) da \( W \) in \( W \) data da \( f(\mathbf{v}_1)=\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2 \), \( f(\mathbf{v}_2)=\mathbf{v}_2+\mathbf{v}_3 \) e \( f(\mathbf{v}_3)=\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_3 \). Devi dimostrare che è un isomorfismo lineare/cambio di base. In altre parole ti basta dimostrare che \( \displaystyle\begin{pmatrix}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1\end{pmatrix} \) è invertibile/ha rango massimo.

Insomma è un metodo alternativo per farlo.

scusa se ti disturbo; per f(v1) intendi un altro vettore diverso dal v1 dato nell'esercizio? ad esempio f(w1)=v1+v2?
quindi poi mi basta dimostrare che l'applicazione è lineare e il gioco è fatto giusto?

scusate la mia ignoranza ma avrei anche un altro dubbio...

se, per esempio, nel quesito dell'esercizio invece di (v2+v3) ci fosse stato scritto (kv2+v3) sarebbe cambiato qualcosa?

[vict85]

Con \(f(\mathbf{v}_1)\) intendo l'immagine tramite \(f\) del vettore \(\mathbf{v}_1\).

Riguardo alla tua domanda, se hai capito i nostri suggerimenti dovresti trovare la risposta da solo/a. Entrambi i metodi forniscono una risposta.