Composizione di funzioni

[Trilogy]

Se una cosa la dimostri, è vera! Se esibisci un controesempio, è falsa.

Hai visto un controesempio fornito da onlyReferee per quanto riguarda il fatto che $g$ non debba essere iniettiva, anche se $g\circ f$ è iniettiva.

[Trilogy]

Forse ho capito cosa intendi. Vogliamo dimostrare che una delle tue implicazioni false sia falsa. Chiamiamo questa implicazione P.

Quindi la tesi è: non è vero che per ogni $f$, $g$ si ha che vale P.

La tesi è equivalente a: esistono $f$ e $g$ tali che non vale P.

Ora, magari si potrebbe provare l'esistenza di queste funzioni in maniera indiretta, ma cosa c'è di meglio di un controesempio?

Forse quella che cercavi tu è una dimostrazione di tipo non costruttivo, ma francamente a questo livello sembra un po' fuori luogo.

[vict85]

Se \(g\circ f\) è iniettivo allora \(f\) è iniettivo e \(g|_{Im(f)}\) è iniettivo. In entrambi i casi puoi facilmente dimostrarlo per assurdo.

Se \(g\circ f\) è suriettivo allora \(g|_{Im(f)}\) è suriettivo.

[ykdvo]

Se \(g\circ f\) è iniettivo allora \(f\) è iniettivo e \(g|_{Im(f)}\) è iniettivo. In entrambi i casi puoi facilmente dimostrarlo per assurdo.

Se \(g\circ f\) è suriettivo allora \(g|_{Im(f)}\) è suriettivo.

su quelle vere ci siamo, mi mancano quelle false

Forse ho capito cosa intendi. Vogliamo dimostrare che una delle tue implicazioni false sia falsa. Chiamiamo questa implicazione P.

Quindi la tesi è: non è vero che per ogni $f$, $g$ si ha che vale P.

La tesi è equivalente a: esistono $f$ e $g$ tali che non vale P.

Ora, magari si potrebbe provare l'esistenza di queste funzioni in maniera indiretta, ma cosa c'è di meglio di un controesempio?

Forse quella che cercavi tu è una dimostrazione di tipo non costruttivo, ma francamente a questo livello sembra un po' fuori luogo.

hai ragione... come potrei fare un controesempio? non mi viene in mente nulla al volo (non ne ho mai provati a fare sinceramente)

[vict85]

Basta che scomponi il dominio di g nell'unione disgiunta dell'immagine di f e un altro insieme.

[ykdvo]

ad esempio:
f : {1, 2} -> {0, 1, 2, 3}
g : {0, 1, 2, 3} -> {0, 1, 2} dove g(y) = [(y+1)/2]
g(f(x)) dovrebbe essere surgettiva, ma f no; giusto?

[ykdvo]

nessuno? mi manca solo il controesempio per quella surgettiva

[onlyReferee]

Ciao ykdvo
Nel tuo controesempio manca la legge che definisce la funzione $f$.
Te ne propongo un altro se vuoi (puoi facilmente verificare come in questo caso $g \circ f$ sia suriettiva ma non lo sia $f$):
$$
f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto x^2 + 1\\
g: \mathbb{R} \rightarrow [1, +\infty), x \mapsto x
$$

[ykdvo]

Ciao ykdvo
Nel tuo controesempio manca la legge che definisce la funzione $f$.
Te ne propongo un altro se vuoi (puoi facilmente verificare come in questo caso $g \circ f$ sia suriettiva ma non lo sia $f$):
$$
f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto x^2 + 1\\
g: \mathbb{R} \rightarrow [1, +\infty), x \mapsto x
$$

Hai ragione grazie per il controesempio!
La dimostrazione sul fatto che se $g \circ f$ è iniettiva, allora f è iniettiva non mi convince più
Ho (tentato di) dimostrato che se f non è iniettiva, non lo è nemmeno la composizione: date f : X \rightarrow Y, g : Y \rightarrow Z, esistono $$x_1 \neq x_2$$ con $$f(x_1) = f(x_2) \Longrightarrow g(f(x_1)) = g(f(x_2))$$... mi pare ci sia qualcosa di strano..