Esercizio su teorema dell'omomorfismo

[Kioru19]

Salve,

ho un esercizio in cui mi si chiede:

Mostrare che ogni gruppo ciclico finito di ordine 10 è isomorfo al gruppo $Z / (10Z)$.

Non ho la più pallida idea di come si risolva.
Potete aiutarmi?

Grazie

[vlander]

Ciao!

Prova a dimostrare che ogni gruppo ciclico $G$ di ordine $n$ è isomorfo a $\mathbb{Z}/{n\mathbb{Z}}$. Usa la definizione di gruppo ciclico e costruisci un isomorfismo da $G$ a $\mathbb{Z}/{n\mathbb{Z}} = \{0, \ldots, n-1\}$.

[dan95]

C'è un teorema che dice: sia $G$ un gruppo ciclico di ordine $n$ allora $G~=ZZ_{/nZZ}$
Prendi la mappa $\phi : [a]_{10} |-> g^{a}$ e mostra che si tratta di un isomorfismo

[Kioru19]

Ok grazie per le risposte.
Mi potete fare un esempio di come dimostrare che una funzione sia un isomorfismo e quindi che un gruppo sia isomorfo ad un altro?

[vict85]

Si può fare in più modi.

Primo modo:
1) dimostrare che è un omomorfismo. \(f(ab) = f(a)f(b)\)
2) dimostrare che è iniettivo ovvero che \(\ker f = \{1_g\}\)
3) nel caso finito far notare che i due gruppi hanno la stessa cardinalità.

Secondo modo:
1) dimostrare che è un omomorfismo
2) trovare g tale che \(f\circ g = \mathrm{id}_G\) e \(g\circ f = \mathrm{id}_{G'}\).

Comunque

Moderatore: vict85

Il Regolamento prevede dei tentativi da parte tua.

[Kioru19]

Grazie.
Si scusami ma non sapevo come proprio come procedere nel svolgere un tentativo.

Comunque cosa si intende per $id_G$?

[vict85]

La funzione identità del gruppo \(G\), da non confondere con l'identità del gruppo. Nel caso specifico devi trovare un omomorfismo \(h\) tale che \(h(f([a]_{10})) = [a]_{10}\) e \(f(h(g^{a}))= g^{a}\) dove \(f\) è la mappa che ti hanno già dato. Non dimenticarti di dimostrare che \(h\) è omomorfismo.

[edit] Corretti alcuni errori.

[Kioru19]

Grazie.
Mi è un pò difficile comprendere queste cose, però.
E' possibile indicarmi dove trovare qualche esempio per capire questi concetti?
Grazie

[vict85]

Cosa non hai capito?

Comunque c'è un altro modo che puoi usare. Prendere la mappa \(f\colon \mathbb{Z}\to G\) data da \(n\mapsto g^n\) e mostrare che \(\ker f = 10\mathbb{Z}\) (ovvero i multipli di 10). A questo punto usi il teorema fondamentale degli isomorfismi di gruppi. Se non sei abituato ad usare le classi di resto potrebbe essere più semplice.

[Kioru19]

Allora, ho provato a prendere: $f: [a]_10 ↦ ga$ e dimostrare che è un isomorfismo dimostrando che:

$ f( [a]_10 + [b]_10 ) = f( [a]_10 ) * f( [b]_10 )$

Ma non so come procedere e non so se è corretto.
In pratica sto lavorando con: $f: Z "/" (10) -> <g>$ dove $<g>$ è il gruppo ciclico, e con $f: [a]_10 ↦ ga$.
Inoltre devo anche dimostrare iniettività e suriettività della funzione, ma non so come fare.