Ultrafiltro su algebra di Boole

[thedarkhero]

Considero l'algebra di Boole $B$ dei sottoinsiemi finiti e co-finiti di $NN$, voglio mostrare che esistono un ultrafiltro $U$ di quest'algebra ed una famiglia di elementi dell'algebra ${x_i}_(i\inI)$ tali che $x_i\inU$ $AAi\inI$ ma $^^^_(i\inI)x_i\notinU$.

Ho pensato di scegliere $U={x\inB|\text{x è co-finito}}$.
$U$ è effettivamente un filtro perchè $NN\inU$ (l'elemento massimo appartiene ad $U$), ${\emptyset}\notinU$ (l'elemento minimo non appartiene ad $U$), se $x,y\inU$ allora $x^^y\inU$ (cioè se $x$ e $y$ sono due sottoinsiemi co-finiti allora anche la loro intersezione è un insieme co-finito) e se $x\inU$ e $y>=x$ allora $y\inU$ (cioè se $x$ è un sottoinsieme co-finito e $x\subseteqy$ allora $y$ è un sottoinsieme co-finito).
$U$ è un ultrafiltro perchè dato un qualsiasi sottoinsieme $z$ di $NN$, $U$ contiene $z$ oppure $U$ contiene il suo complementare (se $z$ è sottoinsieme co-finito allora $z\inU$, se $z$ è sottoinsieme finito allora il suo complementare $z^c$ è co-finito e allora $z^c\inU$).

Considero la famiglia di elementi dell'algebra ${x_i}_(i\inNN)$ dove $x_i=NN\\{i}$, il generico $x_i$ è co-finito e dunque appartiene ad $U$, ma $^^^_(i\inNN)x_i=nnn_(i\inNN)(NN\\{i})={\emptyset}\notinU$.

Vi sembra che il ragionamento sia corretto?
In caso affermativo, esiste un ultrafiltro più piccolo di $U$ (nel senso di propriamente contenuto in $U$) che gode della stessa proprietà (ovvero tale che contiene una famiglia di elementi ${x_i}_(i\inI)$ ma non contiene $^^^_(i\inI)x_i$)?

[Trilogy]

$U$ è un ultrafiltro perchè dato un qualsiasi sottoinsieme $z$ di $NN$, $U$ contiene $z$ oppure $U$ contiene il suo complementare (se $z$ è sottoinsieme co-finito allora $z\inU$, se $z$ è sottoinsieme finito allora il suo complementare $z^c$ è co-finito e allora $z^c\inU$).

Io non ho capito questa parte. Un sottoinsieme di $\mathbb N$ può essere solo finito o co-finito? L'insieme dei pari non è nessuna delle due cose, o sbaglio?

[thedarkhero]

In generale un sottoinsieme di $NN$ può non essere nè finito nè co-finito (ad esempio i pari, come hai detto tu) ma io sto considerando l'algebra di Boole dei sottoinsiemi finiti e co-finiti di $NN$, dunque in quest'algebra ciascun elemento è finito o è co-finito.
Nella parte a cui ti riferisci ho usato il fatto che il complementare di un sottoinsieme finito è co-finito e il complementare di un sottoinsieme co-finito è finito, che segue proprio dalla definizione di sottoinsieme co-finito ovvero un insieme che ha il complementare finito.
Sei d'accordo?

[Trilogy]

Okay, scusa, che scemo. Rileggendo meglio sono d'accordo!