$F(alpha^2)<F(alpha)$ con $alpha$ trascendente

[thedarkhero]

Mi chiedevo...se ho un campo $F$ ed una sua estensione $E$ e considero $alpha\inE$ trascendente, allora posso dire che $F<=F(alpha^2)<=F(alpha)$.

Per quanto riguarda la prima inclusione so che è sicuramente propria, cioè $F<F(alpha^2)$ perchè se $alpha^2\inF$ allora $alpha$ sarebbe algebrico su $F$ e invece non lo è.

Ma per quanto riguarda la seconda inclusione è sempre vero che $F(alpha^2)<F(alpha)$?

[Martino]

Se fosse $F(\alpha^2) = F(\alpha)$ allora sarebbe $\alpha \in F(\alpha^2)$ quindi potremmo scrivere $\alpha$ come ... riesci a continuare?

[thedarkhero]

Se $alpha\inF(alpha^2)$ potremmo scrivere $alpha$ come un polinomio $f\inF[x]$ calcolato in $alpha^2$?

[Martino]

No, ricorda che \( \displaystyle F(t) \) consiste delle frazioni \( \displaystyle f(t)/g(t) \) . Prova a concludere non è difficile.

[thedarkhero]

Se fosse $alpha\inF(alpha^2)$ esisterebbero $f,g\inF[x]$ tali che $alpha=f(alpha^2)/g(alpha^2)$, allora $g(alpha^2)*alpha=f(alpha^2)$ da cui $2"deg"(g)+1=2"deg"(f)$ che è assurdo, può andare?

[Martino]

Sì giusto, dovresti aggiungere che il motivo per cui il grado è preservato è che $\alpha$ è trascendente.

Un altro modo è osservare che $alpha$ è zero di $g(x^2)x-f(x^2)$ e mostrare che questo polinomio è non nullo come hai fatto (ricordando che $g(x) \ne 0$).

[Edit: avevo scritto una leggerezza].

[thedarkhero]

Perfetto, ti ringrazio