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Buona sera a tutti ragazzi.

Sia $T=(Z_3[X])/(x^3+x+2)$

L'esercizio recita:
Si consideri l'insieme $Y=T-{0}$, ossia l'insieme degli elementi non nulli di T. Si chiede per quale motivo $Y$ non è un gruppo ciclico, ossia per quale ragione non esista nessun elemento di $y in Y | Y = {y^n | n in Z}$

Il mio ragionamento è stato il seguente:
Ho verificato se T fosse o meno un campo. Allora per il teorema di Ruffini, si ottiene per $x=2$ che:
$P(X) = 8 + 2 +2 = [12] = [0]_3$
Pertanto sappiamo che P(X) è riducibile in $Z_3$ e T non può essere un campo.

Ora dato che T non è un campo, possiamo ipotizzare che allora $(T,*)$ non è commutativo.
Dunque, dato che un gruppo ciclico è necessariamente abeliano, allora Y non può essere ciclico.

Qualcuno potrebbe aiutarmi a fare chiarezza su questo esercizio?
Grazie a tutti per la disponibilità, buona serata.

Dato che \(\displaystyle T\) non è un campo (e nemmanco un dominio di integrità), \(\displaystyle T\setminus\{0\}\) è un gruppo? È un monoide commutativo?

paolodocet ha scritto:Ora dato che T non è un campo, possiamo ipotizzare che allora $(T,*)$ non è commutativo.

L'errore è in questa affermazione: non essere un campo non implica non essere commutativo. In questo caso $T$ non è un campo, ma è commutativo; quello che conta è che $T-\{0\}$ non è un gruppo.