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Ciao, amici! La proposizione\[((A\land B)\rightarrow C)\leftrightarrow((A\rightarrow C)\lor(B\rightarrow C)) \]risulta essere una tautologia della logica delle proposizioni.
Ora, la proposizione "Dato che, se si preme il pulsante A e si preme il pulsante B, si accende la spia, allora vale che se si preme il pulsante A si accende la spia o che se si preme il pulsante B si accende la spia", che sarei portato a formalizzare come \(((A\land B)\rightarrow C)\rightarrow((A\rightarrow C)\lor(B\rightarrow C)) \), è ovviamente falsa nel caso in cui gli interruttori A e B siano in serie.
Che cosa non va nel mio ragionamento?
$\infty$ grazie per ogni chiarimento!

Forse ho capito cosa non va. Credo che nella tua proposizione quello che tu usi come "e" non corrisponda all'usuale "e" della logica classica, bensì al connettivo "mentre" (che tra l'altro non è neanche vero-funzionale).

Ah, ahí está el busilis... $\infty$ grazie!

Se gli interruttori sono entrambi premuti, sono chiaramente veri entrambi i membri dell'equivalenza.
Se uno è premuto e l'altro no, diciamo A è premuto e B no, da un lato \( A \land B \) è falso, dunque \( (A \land B) \rightarrow C \) è vera, dall'altro \( B \rightarrow C \) è vera poiché l'ipotesi B è falsa, e quindi anche \( (A\rightarrow C)\lor(B\rightarrow C) \) è vera.
Se nessun pulsante è premuto entrambi i membri sono veri essendo vere tutte le implicazioni (tutte le ipotesi sono false).

Quindi dov'è il problema?

_fabricius_ ha scritto:Se uno è premuto e l'altro no, diciamo A è premuto e B no, da un lato \( A \land B \) è falso, dunque \( (A \land B) \rightarrow C \) è vera, dall'altro \( B \rightarrow C \) è vera poiché l'ipotesi B è falsa, e quindi anche \( (A\rightarrow C)\lor(B\rightarrow C) \) è vera.

La mia perplessità derivava dal fatto che "Dato che, se si premono i pulsanti A e B, si accende la spia, allora vale che se si preme il pulsante A si accende la spia o che se si preme il pulsante B si accende la spia" non sarebbe vera se A e B fossero interruttori in serie...

Ma la tautologia di partenza non ti dice che se A e B implicano C allora basta uno dei due ad implicare C (cosa chiaramente falsa).

Credo di non seguirti: \( ((A\land B)\rightarrow C)\rightarrow((A\rightarrow C)\lor(B\rightarrow C)) \) non significa "se $A$ e $B$ implica $C$ allora o $A$ implica $C$ o $B$ implica $C$"?

Perdona le imprecisioni nei miei commenti precedenti e in quanto segue (in particolare abuserò del termine informalmente).

Informalmente quando diciamo che un'implicazione è vera intendiamo che è vera in tutte le situazioni che si possono verificare. Quindi informalmente diciamo che "A implica C" (=l'interruttore A, se premuto, accende la spia) se per ogni situazione che si può effettivamente verificare (A premuto oppure no) \( A \rightarrow C \) è vera in senso strettamente logico.

Ora, da
\[ ((A\land B)\rightarrow C)\rightarrow((A\rightarrow C)\lor(B\rightarrow C)) \]
possiamo dire che se A,B, C sono tali da rendere vera l'ipotesi allora rendono vera almeno una tra \( A \rightarrow C \) e \( B \rightarrow C \), tuttavia quella delle due ad essere vera non è sempre la stessa. Mentre per poter dire informalmente che, ad esempio, "A implica C", \( A \rightarrow C \) dovrebbe essere logicamente vera sempre.

Certo, sì, sì, ma il mio dubbio nasceva da questo: supponiamo di avere un circuito elementare come quello in figura



e poniamo
$A=$ si preme il tasto $A$ nel momento \(t_0\);
$B=$ si preme il tasto $B$ nel momento \(t_0\);
$C=$ si accende la spia nel momento \(t_0+\) il tempo necessario perché la corrente arrivi ad essa.

Direi che \(A\land B\rightarrow C\) è vera, giusto?
\((A\rightarrow C)\lor(A\rightarrow C)\) è sempre vera (ovviamente lo è)? Supponiamo di premere solo A (o solo B) al tempo \(t_0\): la spia non si accende...
Direi che \((A\rightarrow C)\lor(A\rightarrow C)\) è vera perché, se non premiamo B, pur essendo falsa \(A\rightarrow C\), è invece vera \(B\rightarrow C\), proprio perché non si è premuto B.
Direi che tutta la mia confusione derivava dal non pensare che per definire la proposizione $B$ come un evento temporale le si deve assegnare un istante \(t_0\). Così facendo "Se si preme B al tempo \(t_0\) si accende la spia" è vera indipendentemente da ciò che fa la spia, se al tempo \(t_0\) non si preme B. Per questo ebbero da ridire con Crisippo, anche se non avevano le lampadine, ma questa è un'altra storia... (per inciso, esistono logiche in cui si definiscono tipi di implicazioni diverse da quella materiale verofunzionale)

DavideGenova ha scritto:Ciao, amici! La proposizione\[((A\land B)\rightarrow C)\leftrightarrow((A\rightarrow C)\lor(B\rightarrow C)) \]risulta essere una tautologia della logica delle proposizioni.
Ora, la proposizione "Dato che, se si preme il pulsante A e si preme il pulsante B, si accende la spia, allora vale che se si preme il pulsante A si accende la spia o che se si preme il pulsante B si accende la spia", che sarei portato a formalizzare come \(((A\land B)\rightarrow C)\rightarrow((A\rightarrow C)\lor(B\rightarrow C)) \), è ovviamente falsa nel caso in cui gli interruttori A e B siano in serie.
Che cosa non va nel mio ragionamento?
$\infty$ grazie per ogni chiarimento!

A mio avviso il comportamento del circuito elettrico è descritto da \[A\land B\leftrightarrow C\]