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Salve a tutti, in questo periodo sto studiando la teoria dei reticoli e non riesco a risolvere il seguente esercizio tratto dal libro Lezioni di Algebra Curzio ed 2014 pagina 905 n° 11.1.11 il testo è il seguente:
Riconoscere che il reticolo degli interi positivi (cfr. 11.1.7) non è autoduale, mentre lo è il reticolo dei sottogruppi del gruppo quadrinomio.
Non riesco a provare il primo punto. Ecco il mio ragionamento:
Io so che il reticolo degli interi positivi è $ (NN,<=) $ ove $ <= $ è la relazione d'equivalenza definita ponendo $ x<=y hArr x| y $ . Si riconosce facilmente che $ x^^ y=MCD(x,y) $ e $ xvv y=mcm(x,y) $ .
Il duale di $ (NN,<=) $ è dato da $ (NN,<=') $ ove $ x<='y hArr y<=x $ .
$ (NN,<=) $ è autoduale se esiste una similitudine tra $ (NN,<=) $ e $ (NN,<=') $ , ricordo che una similitudine è un'applicazione biunivoca $ f $ tra due insiemi ordinati $ S $ e $ T $ tale che $ x<y $ in $ S $ implica $ f(x)<f(y) $ in $ T $ .
Allora se $ (NN,<=) $ e $ (NN,<=') $ fossero simili esisterebbe una funzione $ f $ tale che:
1) $ f $ è biunivoca;
2) da $ x<y $ segue $ f(x)<'f(y) $ cioè $ f(y)<f(x) $ .
Per cui si deve far vedere che non esiste alcuna funzione $ f $ biunivoca tale che da $ x| y $ segua $ f(y)| f(x) $ .
La mia idea era di far vedere che se vale la condizione: da $ x| y $ segua $ f(y)| f(x) $ , allora $ f $ non può essere iniettiva e perciò neanche biunivoca e ciò proverebbe la non esistenza ma non riesco a provarlo. help ?? Saluti

Non basta osservare che $NN$ ha minimo ma non ha massimo?

Martino ha scritto:Non basta osservare che $NN$ ha minimo ma non ha massimo?

Non ci arrivo... potresti spiegarmi perché...

Se ho capito bene autoduale significa che "se rovesci il reticolo ottieni lo stesso reticolo", in altre parole il reticolo ha un asse di simmetria orizzontale (stai invertendo la relazione d'ordine). Ma allora è chiaro che se il reticolo è autoduale e c'è un minimo allora (siccome rovesciandolo ottieni lo stesso reticolo) deve avere anche un massimo. In altre parole il massimo di un reticolo è il minimo del reticolo rovesciato.

Martino ha scritto:Se ho capito bene autoduale significa che "se rovesci il reticolo ottieni lo stesso reticolo", in altre parole il reticolo ha un asse di simmetria orizzontale (stai invertendo la relazione d'ordine). Ma allora è chiaro che se il reticolo è autoduale e c'è un minimo allora (siccome rovesciandolo ottieni lo stesso reticolo) deve avere anche un massimo. In altre parole il massimo di un reticolo è il minimo del reticolo rovesciato.

Ancora non mi convince: comunque tento di chiarire ancore di più il concetto di reticolo autoduale:

nine98100 ha scritto:ricordo che una similitudine è un'applicazione biunivoca $ f $ tra due insiemi ordinati $ S $ e $ T $ tale che $ x<y $ in $ S $ implica $ f(x)<f(y) $ in $ T $ .

Dire che $ (NN,<=) $ è autoduale equivale a dire che $ (NN,<=) $ è isomorfo al suo duale $ (NN,<=') $ cioè che: $ AA x,y in NN $ si ha $ f(x^^y)=f(x)^^f(y) $ e $ f(xvvy)=f(x)vvf(y) $ .
Cito nuovamente il Curzio pagina 909 proposizione 11.3.2:
Siano $ S $ e $ T $ dei reticoli. Per un applicazione $ f:Srarr T $ sono equivalenti le proposizioni:
(1) $ f $ è una similitudine,
(2) $ f $ è un isomorfismo,
(3) $ f $ è biettiva e $ AA x,y in S $ si ha $ f(xvvy)=f(x)vvf(y) $ ,
(4) $ f $ è biettiva e $ AA x,y in S $ si ha $ f(x^^y)=f(x)^^f(y) $ .
A questo punto come si fa vedere che $ (NN,<=) $ non è autoduale ???

Te l'ho già detto: $NN$ ha minimo ma non ha massimo. Il minimo è 1. Se esistesse per assurdo una $f$ come dici prova a ragionare su chi sarebbe allora $f(1)$ e ti accorgerai che non esiste.

Martino ha scritto:Te l'ho già detto: $NN$ ha minimo ma non ha massimo. Il minimo è 1. Se esistesse per assurdo una $f$ come dici prova a ragionare su chi sarebbe allora $f(1)$ e ti accorgerai che non esiste.

Forse ho capito ... dimmi se sbaglio:
Supponiamo per assurdo che esista $ f $ similitudine tra $ (NN,<=) $ e $ (NN,<=') $ abbiamo visto che da $ x<y $ segue $ f(y)<f(x) $ . A questo punto consideriamo $ 1 $ che è il minimo di $ (NN,<=) $ cioè $ 1<x $ $ AA x in NN-{1} $ infatti $ 1 $ divide $ x $ $ AA x in NN-{1} $ (in realtà divide anche sè stesso) allora otteniamo $ f(x)<f(1) $ $ AA x in NN-{1} $ cioè a dire $ f(x) $ divide $ f(1) $ $ AA x in NN-{1} $ il che è assurdo (ciò si può concludere anche dal fatto che $ f(x)<f(1) $ $ AA x in NN-{1} $ implicherebbe che $ NN $ ammette massimo il che è ovviamente assurdo). Per cui non esiste tale similitudine e quindi $ (NN,<=) $ non è autoduale come volevamo.
Giusto ??? Se ho sbagliato qualche passaggio o si poteva essere più rigorosi ti prego correggimi e grazie della pazienza

Giusto, ciao