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salve ragazzi volevo trovare una funzione biettiva che mi potesse collegare ogni numero razionale positivo ad un numero naturale arrivando a coprire totalmente l' insieme N

adesso come insieme dei razionali di partenza ho preso l' insieme di tutti i numeri del tipo a/b con a e b coprimi tra loro ed appartenenti all' insieme N

ho definito la funzione

per ogni numero razionale $ a/b $ controllo $ b $ che coprimo rispetto ad $ a $ è in ordine di grandezza e chiamo questo numero $ n $
es: per 3/4 $ n $ è 3 perchè 4 è il terzo numero coprimo con 3 in ordine di grandezza
ora ad ogni numero $ a/b $ associo l n-esimo numero naturale con (a-1) zeri in esso

esempio

3/4 $ n $ corrisponde a 3 quindi prendo il terzo numero naturale che contiene (3-1)=2 zeri in esso ossia 300

ora così definita la funzione sembra essere iniettiva e suriettiva

secondo voi il ragionamento è corretto?

Non sono sicuro di aver compreso fino in fondo il tuo ragionamento, ma non mi sembra iniettivo. Per esempio \(1/10\) e \(2\) hanno la stessa rappresentazione, o mi sbaglio?

$ 1/10 $ allora a=1 b=10
10 è il decimo numero coprimo con 1 dunque devo prendere il decimo numero in ordine di grandezza che contiene (a-1) zeri quindi (1-1)=0 il decimo numero senza zeri è 11

$ 2 $ allora a=2 b=1
1 è il primo numero coprimo con 2 dunque devo prendere il primo numero in ordine di grandezza che contiene (a-1) zeri quindi (2-1)=1 il primo numero con 1 zero è 10

Quindi se ho capito bene i numeri della forma $1/k$ ti vanno nei numeri senza zeri, quelli della forma $2/k$ (con k dispari) ti vanno nei numeri con uno zero e cosi' via.

Poi prendi tutti i possibili denominatori in ordine crescente (ad esempio i possibili denominatori di $2$ sono i numeri dispari) e mandi l'$n$-esimo possibile denominatore (che e' l'$n$-esimo numero coprimo con quel numeratore) nell'$n$-esimo numero con il giusto numero di zeri.

A parole sembra funzionare. Non mi azzardo a provare a scrivere una dimostrazione "in simboli". E se funziona, bella idea!

grazie mille Pappappero ne ho fatta pure una versione più potente che comprende Q con lo zero ed i numeri negativi.
ce l' aveva assegnato come esercizio la prof di analisi 1 e molti se ne sono usciti con un schema a diagonali preso probabilmente su internet.
mi sto davvero divertendo con la matematica all' università

Lenz ha scritto:mi sto davvero divertendo con la matematica all' università

Beato te...

Il metodo classico si basa su una considerazione piuttosto semplice: che ogni biezione ben formata deve mandare l'insieme delle frazioni con numeratore e denominatore minore di \(n\) nell'insieme dei numeri minori di un certo \(m\). Il metodo classico fa anche in modo di minimizzare questo \(m\) per ogni \(n\) se la memoria non mi inganna. Ma le soluzioni sono certamente infinite. Immagino che molti abbiano copiato da internet, ma trovo comunque che tu ti sia complicato un po'la vita. Non sono comunque completamente convinto che la tua funzione possieda questa proprietà, e che pertanto sia effettivamente una funzione. Quindi ti invito a dimostrare formalmente ogni parte. Puoi concentrarti sui numeri positivi perché per i negativi ti basta fare una funzione in \(\mathbb{Z}\) invece che in \(\mathbb{N}\).