Matematicamente.it

Ciao a tutti,
ho provato a svolgere quest'esercizio ma non riesco a concluderlo, vi posto la mia soluzione (fin dove sono arrivato).

Sia G un gruppo tale che $ |G|=175=5^{2}7$ e siano $n_{5}=|Syl_{5}(G)|$ e $n_{7}=|Syl_{7}(G)|$.
Per i teoremi di Sylow so che $n_{5} | 7$ e $n_{5} \equiv_{5} 1$, dunque $n_{5}=1$.
Allo stesso modo so che $n_7 | 5$ e $n_{7} \equiv_{7} 1$, dunque $n_{7}=1$.
Dunque $\exists! P \in Syl_{7}(G)$ e $\exists! Q \in Syl_{5}(G)$, so che $|P| = 7$ e $|Q| = 25$, quindi visto che le cardinalità sono coprime so grazie al teorema di Lagrange che $P \cap Q = {1_{G}}$.
Inoltre essendo $P$ e $Q$ gli unici p-Sylow so che sono anche normali, dunque $PQ \leq G$ ma siccome $|PQ| = \frac{|P||Q|}{|P\ cap Q|} = 175 = |G|$ posso affermare che $P \times Q = G$.
Inoltre $|P| = 7$ che è primo, dunque $P$ è ciclico e quindi abeliano, invece $|Q| = 5^{2}=p^{2}$ e siccome anche 5 è primo posso affermare che anche Q è abeliano (i gruppi con ordine quadrati di primi sono sempre abeliani).
A questo punto ho che $G$ è prodotto diretto di gruppi abeliani, dunque anche G è abeliano.

E' qua che mi incasino un po', so che siccome $|G|=7^{1}*5^{2}$ ho che ci sono $2=p(1)p(2)$¹ gruppi abeliani di ordine 175 a meno di isomorfismi. Uno è per forza $\mathbb{Z}_{175}$, ma l'altro? So che mi basta trovare un altro gruppo abeliano(non ciclico) di ordine 175 che non sia isomorfo a $\mathbb{Z}_{175}$.
In realtà questo è un caso abbastanza fortunato, in generale non mi è chiarissimo come si usi la decomposizione primaria ciclica (ammesso che serva quella).

Grazie mille a tutti

---

$ZZ_5 xx ZZ_5 xx ZZ_7$

Ok, quindi siccome $\exists g \in ZZ_{175}$ tale che $o(g)=175$ mentre l'elemento con ordine maggiore all'interno di $ZZ_{5} \times ZZ_{5} \times ZZ_{7}$ deve avere ordine $mcm(5, 7)$ allora i due gruppi non sono isomorfi. (ha senso la storia dell'mcm?)
E grazie alle considerazioni del post di prima so che ce ne sono solo due di gruppi abeliani di ordine 175, quindi devono essere per forza quei due.

La mia domanda generale però rimane, quali sono i gruppi abeliani non isomorfi di una data cardinalità? Come si determina se sono isomorfi o meno in generale?

Per esempio se $p$ è un primo quelli di ordine $p^5$ sono

$ZZ_{p^5}$,
$ZZ_p xx ZZ_{p^4}$,
$ZZ_{p^2} xx ZZ_{p^3}$,
$ZZ_p xx ZZ_{p^2} xx ZZ_{p^2}$,
$ZZ_p xx ZZ_p xx ZZ_{p^3}$,
$ZZ_p xx ZZ_p xx ZZ_p xx ZZ_{p^2}$,
$ZZ_p xx ZZ_p xx ZZ_p xx ZZ_p xx ZZ_p$.

Riesci a generalizzare?

Credo di aver capito cosa intendi, i gruppi abeliani di cardinalità $n=p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}...p_{m}^{k_{m}}$ sono $\prod_{i=1}^{m}p(k_{i})$
Nel tuo caso l'ordine è $p^{5}$ dunque sono d'accordo con quella suddivisione ma tipo nel caso di prima dove $n=175=5^2*7$ come funziona la cosa, io a priori come capisco quali tra questi sono isomorfi?
$ZZ_{5} \times ZZ_{5} \times ZZ_{7}$
$ZZ_{25} \times ZZ_{7}$
$ZZ_{35} \times ZZ_{5}$
$ZZ_{175}$

Comunque vanno bene gli argomenti che ho usato prima? Non ho scritto scemenze, vero?

L'unica cosa che devi sapere è il teorema cinese, cioè che $ZZ_a xx ZZ_b \cong ZZ_{ab}$ se $a$ e $b$ sono coprimi. Quindi

$ZZ_5 xx ZZ_7 \cong ZZ_{35}$
$ZZ_{25} xx ZZ_7 \cong ZZ_{175}$

quindi dei quattro che hai scritto il primo è isomorfo al terzo e il secondo al quarto.

Non hai scritto scemenze. Ciao!

Martino ha scritto:Non hai scritto scemenze.

Mi solleva molto.

Comunque ho capito, grazie mille, mi torna tutto. Questo ha come conseguenza il fatto che $ZZ_{p^{k}} \cong ZZ_{p} \times ... \times ZZ_{p}$ (k volte) con p primo, giusto?

No non sono isomorfi. Il primo ha elementi di ordine $p^k$, il secondo no (tutti gli elementi del secondo diversi da 1 hanno ordine $p$).

Ops, ho scritto il contrario di quello che intendevo, volevo chiedere se non fossero mai isomorfi ma a questo punto immagino di sì.
Inoltre tu hai detto che $a$ e $b$ coprimi $\implies ZZ_a \times ZZ_b \cong ZZ_{ab}$, ma vale anche il contrario?

Sì vale anche il contrario. Se quei gruppi sono isomorfi allora a e b sono coprimi.