Esercizi svolti di algebra sui polinomi
Inviato: 05/02/2024, 17:16
Ciao a tutti. Stavo dando uno sguardo alle tracce di esame e ci sono alcuni esercizi sui polinomi che non mi è chiaro come risolvere.
Premetto che ho spulciato tutti (o giù di lì) gli esercizi sui polinomi presenti sulla raccolta del professor Campanella ma non ho trovato nulla. Gli esercizi sono tipo il seguente:
Dato un numero primo positivo $p$, si considerino i seguenti polinomi in $ZZ_p [x]$
$f(x)=x^(p^2)+x^p+x+ bar(1)$
$g(x)=bar(7)x^(p^2)+bar(5)x^p+bar(3)x+bar(2)$
$h(x)=bar(2)x^(p^2)+x^p+bar(1)$
a) Determinare, al variare di $p$, il numero delle radici comuni a $f(x) " e " g(x)$ in $ZZ_p$.
b) Determinare tutti i fattori lineari di $f(x)-h(x)$ in $ZZ_p[x]$
Ho già svolto esercizi sulla riduzione dei polinomi in $ZZ[X], QQ[X], ZZ_p[X]$, calcolo degli inversi nei campi $ZZ_p[X] "/" f$, riduzioni modulo n, criterio di Einstein ecc. Però esercizi in cui sfruttare la funzione di Eulero o il piccolo teorema di Fermat non ne ho e non ne ho trovati e, di fatto, non so come applicarli (ammesso subentrino in questo tipo di esercizi).
Quello che vorrei sapere è se qualcuno possiede delle dispense con esercizi svolti di questo tipo e se può gentilmente condividerle. O se sapete dove posso trovare qualcosa di simile. Vi ringrazio
Premetto che ho spulciato tutti (o giù di lì) gli esercizi sui polinomi presenti sulla raccolta del professor Campanella ma non ho trovato nulla. Gli esercizi sono tipo il seguente:
Dato un numero primo positivo $p$, si considerino i seguenti polinomi in $ZZ_p [x]$
$f(x)=x^(p^2)+x^p+x+ bar(1)$
$g(x)=bar(7)x^(p^2)+bar(5)x^p+bar(3)x+bar(2)$
$h(x)=bar(2)x^(p^2)+x^p+bar(1)$
a) Determinare, al variare di $p$, il numero delle radici comuni a $f(x) " e " g(x)$ in $ZZ_p$.
b) Determinare tutti i fattori lineari di $f(x)-h(x)$ in $ZZ_p[x]$
Ho già svolto esercizi sulla riduzione dei polinomi in $ZZ[X], QQ[X], ZZ_p[X]$, calcolo degli inversi nei campi $ZZ_p[X] "/" f$, riduzioni modulo n, criterio di Einstein ecc. Però esercizi in cui sfruttare la funzione di Eulero o il piccolo teorema di Fermat non ne ho e non ne ho trovati e, di fatto, non so come applicarli (ammesso subentrino in questo tipo di esercizi).
Quello che vorrei sapere è se qualcuno possiede delle dispense con esercizi svolti di questo tipo e se può gentilmente condividerle. O se sapete dove posso trovare qualcosa di simile. Vi ringrazio