Intersezione arbitraria DIM
Inviato: 27/03/2024, 19:31
Ciao,
vorrei dimostrare una cosa estemporanea detta dal prof a lezione: $A_n=(-1/n,1/n)$ come intersezione arbitraria è un punto.
Sono partito dalla mia (auspicabilmente non fallace) intuizione che possa essere {0}.
Ho quindi pensato di scrivere in modo più formale $(-1/n,1/n):={r|-1/n<r<1/n}$
A questo punto mi sembrava utile procedere per doppia inclusione.
1) che {0} sia sottoinsieme di quell'insieme è vero perché se riscrivo: $-1/n<r<1/n <=> (-1/n<r and r<1/n)$ mi accorgo che deve valere: $-1/n<0$ e $0<1/n$ quindi $-1<0*n$ e $n*0<1$ questo per ogni n.
Quindi ho che {0} è sottoinsieme di $(-1/n,1/n)$ per ogni n, quindi è vero anche per ogni intersezione arbitraria degli $A_n$. Questa è l'idea e vorrei come prima cosa chiedervi se mi potete aiutare a formalizzarla meglio.
2) la seconda domanda è su come procedere però nella seconda inclusione: l'intersezione degli An: ${r|-1/n<r<1/n}$ è sottoinsieme di ${0}$. Solo questo mi porterebbe all'uguaglianza dei due, ma sono bloccato su come fare
GRazie
vorrei dimostrare una cosa estemporanea detta dal prof a lezione: $A_n=(-1/n,1/n)$ come intersezione arbitraria è un punto.
Sono partito dalla mia (auspicabilmente non fallace) intuizione che possa essere {0}.
Ho quindi pensato di scrivere in modo più formale $(-1/n,1/n):={r|-1/n<r<1/n}$
A questo punto mi sembrava utile procedere per doppia inclusione.
1) che {0} sia sottoinsieme di quell'insieme è vero perché se riscrivo: $-1/n<r<1/n <=> (-1/n<r and r<1/n)$ mi accorgo che deve valere: $-1/n<0$ e $0<1/n$ quindi $-1<0*n$ e $n*0<1$ questo per ogni n.
Quindi ho che {0} è sottoinsieme di $(-1/n,1/n)$ per ogni n, quindi è vero anche per ogni intersezione arbitraria degli $A_n$. Questa è l'idea e vorrei come prima cosa chiedervi se mi potete aiutare a formalizzarla meglio.
2) la seconda domanda è su come procedere però nella seconda inclusione: l'intersezione degli An: ${r|-1/n<r<1/n}$ è sottoinsieme di ${0}$. Solo questo mi porterebbe all'uguaglianza dei due, ma sono bloccato su come fare
GRazie