Messaggioda Luca.Lussardi » 21/08/2010, 08:30

Sì, Martino, hai ragione, è corretto, ma anche questo è un cane che si morde la coda: la definizione che dai di somma nasconde la regola dei segni. Sono d'accordo anche io che la regola dei segni letteralmente ha una dimostrazione che discende da come uno definisce i numeri interi e le operazioni con essi, ma le operazioni in $\ZZ$ vengono definite in quel modo proprio per rispettare la regola, che a sua volta viene scelta proprio per conservare la struttura algebrica.
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Messaggioda Martino » 21/08/2010, 09:32

Luca.Lussardi ha scritto:Sì, Martino, hai ragione, è corretto, ma anche questo è un cane che si morde la coda: la definizione che dai di somma nasconde la regola dei segni.
Beh certo, su questo siamo d'accordo. L'operazione di moltiplicazione in Z non è altro che la traduzione dell'idea intuitiva che deve valere la regola dei segni.
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Re: perchè meno per meno dà più?

Messaggioda MentEntropica » 28/12/2011, 01:52

Mi è sorto un dubbio sull'espressione \(\displaystyle {0}={a}•{0}={a}•{\left[{b}+{\left(–{b}\right)}\right]}={a}{b}+{a}•{\left(–{b}\right)} \) scritta nella dimostrazione. Non sarebbe più corretto (non che sia sbagliato scriverla così, cerco solo di capire se è più corretto) scrivere [b-b]=0 (e poi proseguire da lì) visto che quando scrivo +(-b) è come se in un certo senso userei la regola dei segni?
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Re: perchè meno per meno dà più?

Messaggioda albertobosia » 28/12/2011, 07:40

con \(-b\) si indica l'inverso di \(b\) rispetto all'operazione \(+\).
in realtà la scrittura \(a-b\) sarebbe "scorretta" in quanto nell'anello \((\mathbb Z,+,\cdot)\) abbiamo solo le operazioni \(+\) e \(\cdot\), mentre non esiste l'operazione \(-\).
tuttavia è un problema più di forma che di sostanza...
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Re: perchè meno per meno dà più?

Messaggioda avilla » 29/04/2014, 01:41

A distanza di qualche anno mi sono posto anch'io la stessa domanda, dopo una regressione che partiva dal perché la funzione logaritmo non ammetta basi negative, da cui la domanda "perché la funzione esponenziale non ammette basi negative (con esponenti reali o frazionari con denominatore pari)?" essendo la prima funzione inverso della seconda; il passo successivo è chiedersi perché fare un quadrato di un numero negativo non mi dà un numero negativo più grande (in valore assoluto) simmetricamente a quanto succede ai numeri positivi. Infine la domanda clou: perché meno per meno dà più?
Dopo averci ragionato un po' sono giunto a questa conclusione, la quale, mi perdonerete, è molto in prosa e priva di notazioni scientifiche.
Prendete l'insieme dei numeri Naturali. Valori assoluti privi di segno che identificano quantità univoche. Metteteli in una semiretta a sé. Sotto, (o sopra, o dietro, comunque da un'altra parte) immaginate la retta dei numeri Interi. I positivi significano "aggiungere" o "trovare" o "esistere" o anche un generico "avanti" rispetto ad un punto di riferimento "zero". Ci sono "tre passi in avanti" o "dieci pecore". Nell'altra direzione c'è "togliere", "sottrarre all'esistenza" oppure "indietro". Troviamo concetti come "tre passi indietro" oppure "togli otto mele (da un gruppo)". Tre passi in avanti e tre passi indietro fa zero. Non c'è alcuna ragione per considerare che il primo "tre" sia più importante dell'altro solo perché sono passi in avanti. Mettere un meno davanti significa scambiare i due concetti. Trasformare tre passi "avanti" in "indietro" e viceversa, e sembra logico poter avere un'operazione che lo fa istantaneamente dato che, abbiamo visto, i valori assoluti delle due quantità sono equivalenti.
Il nodo cruciale si incontra in questo frangente: devo mettere un meno davanti al valore assoluto x. Quale numero nella retta degli Interi me lo rappresenta univocamente, così che io possa associarlo, partire da lì e in seguito eseguire l'operazione relativa al "mettere un meno davanti", ovvero un salto simmetrico sullo zero e infine posizionarmi sul suo "opposto"? Questa è la domanda senza risposta. Perché dovrebbe il +x possedere maggiore dignità in fatto di valore assoluto quantitativo rispetto al -x? Non c'è risposta, eppure nel passare da un grado di esistenza neutra (i numeri Naturali senza segno) ad un altro (gli Interi con segno) non posso non scegliere da dove partire.
Posto per definizione che "si parte" dai numeri positivi, assegnando loro una maggiore dignità assoluta, più per convenzione che per reale esperienza, allora va da sé che mettere un meno davanti corrisponde a spostarmi nella metà dei negativi. Mettere un altro meno davanti mi fa, ça va sans dire, spostarmi di nuovo nella metà opposta ovvero i positivi. Meno per meno = più.
Se decidessimo in partenza che sono i negativi i migliori incaricati a fungere da punto di partenza, -x (con x negativo a priori) darebbe come risultato = +x. E poco male se il segno meno messo davanti indica sia l'operazione, sia l'appartenenza ai numeri negativi (un'omonimia dei termini tutt'altro che scontata). Bisognerebbe poi ricordarsi che un numero privo di segno è sottinteso negativo perciò 5 + 3 = 2 e altre varie finte stramberie, che in realtà sono tali solo per i nostri usi radicati. In ultimo potremmo finalmente costruirci il nostro amato quadrato negativo, ma saremmo adesso impossibilitati a farne uno positivo. Perciò forse il gioco non vale la candela.
Finché ci sarà da dover fare quella scelta a priori, ci sarà sempre un disequilibrio, compensato a livelli più alti di potenze e radici dall'aggiunta di quel famoso numero immaginario.
Chissà se, aggiungendo un terzo segno e dovute operazioni tra neutri, positivi e negativi, si potrebbe fare a meno di immaginari e complessi?
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Re: perchè meno per meno dà più?

Messaggioda Vitalluni » 30/04/2014, 15:30

Una volta che definisci la moltiplicazione induttivamente e riesci a capire la dimostrazione del fatto che sulla motliplicazione vale la proprietà distributiva, vedrai che la regola del segno: $ a * -a = -(a*a) and -a*-a = a*a$ è una cosa che salta fuori da se, diciamo un altra proprietà. La puoi dimostrare così oppure semplicemente per assurdo:

- Assumi che la regola del segno non valga
- Trovi che non vale la proprietà distributiva
- Ma sai che la proprietà distributiva vale perchè segue dalla definizione di moltiplicazione
- Ne deduci che la regola del segno è vera.
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Re: perchè meno per meno dà più?

Messaggioda tmox » 31/08/2015, 18:16

Vitalluni ha scritto:Una volta che definisci la moltiplicazione induttivamente e riesci a capire la dimostrazione del fatto che sulla motliplicazione vale la proprietà distributiva, vedrai che la regola del segno: $ a * -a = -(a*a) and -a*-a = a*a$ è una cosa che salta fuori da se, diciamo un altra proprietà. La puoi dimostrare così oppure semplicemente per assurdo:

- Assumi che la regola del segno non valga
- Trovi che non vale la proprietà distributiva
- Ma sai che la proprietà distributiva vale perchè segue dalla definizione di moltiplicazione
- Ne deduci che la regola del segno è vera.


Parlando della proprietà distributiva potrei porre che:

\(\displaystyle -a*(b-b)= -a *b+ (-a*-b) = 0 \) e da qui affermare che \(\displaystyle (-a)*(-b)=a*b \). In questo modo sarebbe dimostrata la regola del segno grazie alla proprietà distribuitiva.
Tuttavia potremmo lamentarci di non avere una dimostrazione del fatto che quel "\(\displaystyle - \)" davanti la "\(\displaystyle a \)" non invalidi la proprietà distribuitiva. Di conseguenza dovremo accettare la regola del segno solo per validare la proprietà distributiva anche nel caso di numeri negativi. Quindi questa non mi sembra una dimostrazione, ma un assecondare.

Io non sono un matematico, e non ho idea se esistano altre strade con cui la regola dei segni sia stata dimostrata. Quel che è certo è che nel momento in cui impostiamo una equazione in cui concepiamo l'esistenza di numeri negativi, ed attribuiamo ad essi un significato (ad esempio anni al passato, metri indietro, ecc.), solo ed unicamente usufruendo della regola \(\displaystyle -*-=+ \) possiamo ottenere un risultato che sia corretto.

Supponiamo di avere una funzione comunque complessa, e di sostituire tutti i numeri possibili nelle incognite cercando gli zeri.
Supponiamo di riuscire a trovare tali zeri.
Svolgendo regolarmente l'equazione ci accorgeremmo che solo rispettando la regola del "\(\displaystyle -*-=+" \) otterremmo lo stesso risultato (quello corretto).

Potremmo dire che non esiste algebra senza regola dei segni, e non esiste regola dei segni senza algebra.
Un conto algebrico eseguito infrangendo la regola dei segni porterebbe sempre a risultati sbagliati.

A livello matematico ha certo importanza poter dimostrare che quanto appena detto valga sempre e per qualunque calcolo si faccia. Il fatto che tutti i calcoli svolti dagli albori degli studi sull'algebra abbiano confermato il fatto che è giusto fare \(\displaystyle -*-=+ \) non rappresenta una dimostrazione, eppure ha sempre funzionato.

Sottolineo comunque che la regola dei segni mi fu insegnata con le dimostrazioni già proposte dagli altri utenti in questo thread. Se qualcuno conosce un dimostrazione che non lasci spazio a repliche lo esorto a presentarla, in quanto certamente interessante.
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Re: perchè meno per meno dà più?

Messaggioda axpgn » 31/08/2015, 18:43

Beh, no ... non è frutto del caso ma di come definisci gli interi ...

Presupponendo di conoscere solo i naturali e le operazioni di addizione e moltiplicazione ivi definite puoi definire gli interi come le coppie ordinate $(a,b)$ di naturali in cui l'addizione (di interi) e la moltiplicazione (di interi) siano definite in questo modo:

Addizione di interi: dati due interi $M=(a,b)$ e $N=(c,d)$ la loro somma $(p,q)=S=M+N$ viene definita così $(p=a+c, q=b+d)$

Moltiplicazione di interi: dati due interi $M=(a,b)$ e $N=(c,d)$ il loro prodotto $(p,q)=P=M*N$ viene definito così $(p=a*c+b*d, q=a*d+b*c)$

Se mi ricordo bene ... :-)

Attenzione al fatto che ho usato lo stesso simbolo per operazioni differenti, cioè l'addizione intera è cosa diversa dall'addizione naturale ma sono in pratica la stessa cosa (formalmente credo si dica che sono isomorfe).

Cordialmente, Alex
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Re: perchè meno per meno dà più?

Messaggioda tmox » 31/08/2015, 18:49

Ti riferisci alla proprietà distribuitiva? Non ho ben capito se hai espresso la riprova che la proprietà valga anche avendo un numero negativo a moltiplicare la parentesi.

Poi avrei una domanda:

Per quale motivo far si che la proprietà distributiva sia valida anche nel caso dei numeri negativi significa allo stesso tempo far si che la regola dei segni conduca a risultati corretti svolgendo le equazioni?

Ad esempio: svolgendo l'equazione per gli zeri di una parabola:

Delta = \(\displaystyle (b)*(b) - 4*a*c \)

In "\(\displaystyle -4*a*c \) "capita spesso di dover usare la regola dei segni. Dove è il nesso tra il fatto che la regola dei segni renda valida la proprietà distribuitiva con tutti i numeri interi e il fatto che l'equazione risulterà correttamente svolta?
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Re: perchè meno per meno dà più?

Messaggioda axpgn » 31/08/2015, 19:39

tmox ha scritto:Ti riferisci alla proprietà distribuitiva?

No, ho semplicemente scritto come si costruisce l'insieme dei numeri interi partendo dall'insieme dei naturali (uno dei modi per farlo ...).
Quello che ho scritto è sufficiente per capire perché "meno per meno = più".
Aggiungo solo che due numeri interi $M=(a,b)$ e $N=(c,d)$ sono uguali [$M=N$] se e solo se $a+d=b+c$
Prova a rifletterci sopra ... e fare un po' di prove ...


Cordialmente, Alex
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