Campo di spezzamento di $x^3-3x+1$
Inviato: 15/09/2010, 20:20
Uffa, ho lasciato per qualche settimana le cose che stavo studiando per andare in ferie e al ritorno ho di nuovo difficoltà. Ah, la mia testa...
Ho gentilmente bisogno di una mano con un campo di spezzamento. Precisamente, devo determinare il campo di riducibilità completa di \( \displaystyle p(x)=x^{3}-3x+1 \in \mathbb{Q}[x] \) .
Per prima cosa, osservo che $p(x)$ non ha soluzioni razionali (le quali potrebbero essere soltanto $pm1$ che evidentemente non annullano il polinomio).
Allora, ho detto l'ideale $J=(p(x))$ è massimale e dunque $QQ[x]//J$ è un campo. Non solo, ma - come ci insegna la teoria - in detto campo $p(x)$ ha uno zero (il laterale $x+(p(x))$). Adesso però non so più come andare avanti: ho aggiunto una sola radice a $QQ$ quindi non sono ancora al campo di spezzamento.
Che fare? Avevo anche pensato alla formule di Cardano, ma non le ho mai usate...
Grazie in anticipo per l'aiuto.
Ho gentilmente bisogno di una mano con un campo di spezzamento. Precisamente, devo determinare il campo di riducibilità completa di \( \displaystyle p(x)=x^{3}-3x+1 \in \mathbb{Q}[x] \) .
Per prima cosa, osservo che $p(x)$ non ha soluzioni razionali (le quali potrebbero essere soltanto $pm1$ che evidentemente non annullano il polinomio).
Allora, ho detto l'ideale $J=(p(x))$ è massimale e dunque $QQ[x]//J$ è un campo. Non solo, ma - come ci insegna la teoria - in detto campo $p(x)$ ha uno zero (il laterale $x+(p(x))$). Adesso però non so più come andare avanti: ho aggiunto una sola radice a $QQ$ quindi non sono ancora al campo di spezzamento.
Che fare? Avevo anche pensato alla formule di Cardano, ma non le ho mai usate...
Grazie in anticipo per l'aiuto.