Problema sui gruppi dell'Herstein.
Inviato: 29/03/2011, 13:54Se $G$ ha ordine $pq^2$, con $p$ e $q$, primi e $p!=q$, dimostrare che un $p-Sylow$ o un $q-Sylow$ é normale in $G$.
Senza perdita di generalità si possono a mio avviso analizzare i seguenti possibili casi:
1) $p>q$ , $p>q^2$.
2) $p<q$, $p<q^2$.
3) $p>q$, $p<q^2$.
Nel caso 1), abbiamo per il primo teorema di $Sylow$ almeno un $p-Sylow$, per il terzo teorema di $Sylow$ il numero $c_p$ di $p-Sylow$ distinti in $G$ é congruente ad $1$ modulo $p$ ed $c_p$ divide $|G|$. Pertanto l'unica relazione possibile per $c_p$ è la seguente:
$c_p=1+kp=1$, con $k=0$. Quindi avremo un unico $p-Sylow$, pertanto risulterà essere normale in $G$.
Nel caso 2) facendo un ragionamento del tutto analogo al precedente si giunge alla conclusione dell'esistenza di un unico $q-Sylow$, pertanto normale in $G$.In questi casi la tesi è provata.
Il caso 3) si presenta un pò più complesso in quanto possono presentarsi valide le seguenti relazioni:
$c_p=1+kp=1$ con $k=0$, ed $c_p=1+kp=q^2$ con $k$ intero, $c_q=1+kq=1$ con $k=0$ e $c_q=1+kq=p$, con $k$ intero;
Quindi si può presentare valida la seguente condizione:
(i) $c_p=1+kp=q^2$ ed $c_q=1+kq=p$;
In questo caso proseguo con il seguente ragionamento:
dato che gruppi ciclici distinti di ordine $p$, hanno come intersezione l'elemento neutro, ed essendo i $p-Sylow$ in numero di $q^2$,essi avranno in tutto $1+(p-1)q^2$ elementi distinti. Un $q-Sylow$ ha ordine $q^2$, poichè l'intersezione di un $q-Sylow$ e di un $p-Sylow$ può essere solo l'elemento neutro, gli elementi distinti nei $p-Sylow$ e nell'unico $q-Sylow$ sono $1+(p-1)q^2+(q^2-1)=pq^2$, ed essendo $|G|=p^2$, non può esserci alcun altro $q-Sylow$ distinto, tale condizione non può sussistere e quindi essendo che in tutte le altre situazioni si ha la validità della condizione $c_p=1+kp=1$ e/o $c_q=1+kq=1$, concludo che necessariamente un gruppo $G$ di ordine $pq^2$ possiede un $p-Sylow$ o un $q-Sylow$ normale in $G$.
In più si potrebbe asserire che nel caso in cui sussiste la condizione $c_p=1+kp=1$ e $c_q=1+kq=1$, si avrebbe un gruppo abeliano, infatti avremmo sia un $p-Sylow$ ed un $q-Sylow$ normali ed unici in$G$, che hanno come intersezione solamente l'elemento neutro essendo $p$ e $q$ primi con $p!=q$, in definitiva $G$ risulterebbe il prodotto cartesiano di tali sottogruppi.
Spero proprio di non aver scritto delle cavolate, in tal caso mi scuso, molto probabile in quanto è da poco che ho familiarizzato con i teoremi di $Sylow$. Comunque resto in attesa di una risposta;Grazie!
Senza perdita di generalità si possono a mio avviso analizzare i seguenti possibili casi:
1) $p>q$ , $p>q^2$.
2) $p<q$, $p<q^2$.
3) $p>q$, $p<q^2$.
Nel caso 1), abbiamo per il primo teorema di $Sylow$ almeno un $p-Sylow$, per il terzo teorema di $Sylow$ il numero $c_p$ di $p-Sylow$ distinti in $G$ é congruente ad $1$ modulo $p$ ed $c_p$ divide $|G|$. Pertanto l'unica relazione possibile per $c_p$ è la seguente:
$c_p=1+kp=1$, con $k=0$. Quindi avremo un unico $p-Sylow$, pertanto risulterà essere normale in $G$.
Nel caso 2) facendo un ragionamento del tutto analogo al precedente si giunge alla conclusione dell'esistenza di un unico $q-Sylow$, pertanto normale in $G$.In questi casi la tesi è provata.
Il caso 3) si presenta un pò più complesso in quanto possono presentarsi valide le seguenti relazioni:
$c_p=1+kp=1$ con $k=0$, ed $c_p=1+kp=q^2$ con $k$ intero, $c_q=1+kq=1$ con $k=0$ e $c_q=1+kq=p$, con $k$ intero;
Quindi si può presentare valida la seguente condizione:
(i) $c_p=1+kp=q^2$ ed $c_q=1+kq=p$;
In questo caso proseguo con il seguente ragionamento:
dato che gruppi ciclici distinti di ordine $p$, hanno come intersezione l'elemento neutro, ed essendo i $p-Sylow$ in numero di $q^2$,essi avranno in tutto $1+(p-1)q^2$ elementi distinti. Un $q-Sylow$ ha ordine $q^2$, poichè l'intersezione di un $q-Sylow$ e di un $p-Sylow$ può essere solo l'elemento neutro, gli elementi distinti nei $p-Sylow$ e nell'unico $q-Sylow$ sono $1+(p-1)q^2+(q^2-1)=pq^2$, ed essendo $|G|=p^2$, non può esserci alcun altro $q-Sylow$ distinto, tale condizione non può sussistere e quindi essendo che in tutte le altre situazioni si ha la validità della condizione $c_p=1+kp=1$ e/o $c_q=1+kq=1$, concludo che necessariamente un gruppo $G$ di ordine $pq^2$ possiede un $p-Sylow$ o un $q-Sylow$ normale in $G$.
In più si potrebbe asserire che nel caso in cui sussiste la condizione $c_p=1+kp=1$ e $c_q=1+kq=1$, si avrebbe un gruppo abeliano, infatti avremmo sia un $p-Sylow$ ed un $q-Sylow$ normali ed unici in$G$, che hanno come intersezione solamente l'elemento neutro essendo $p$ e $q$ primi con $p!=q$, in definitiva $G$ risulterebbe il prodotto cartesiano di tali sottogruppi.
Spero proprio di non aver scritto delle cavolate, in tal caso mi scuso, molto probabile in quanto è da poco che ho familiarizzato con i teoremi di $Sylow$. Comunque resto in attesa di una risposta;Grazie!
