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mi stavo chiedendo una cosa: è possibile definire una seconda operazione "sensata" in un gruppo di permutazioni?
(in pratica, è possibile creare un anello?)
abbiamo già la composizione, che non è commutativa
quindi, dato un gruppo di permutazioni \(G\) si tratta di creare una struttura del tipo \((G,\star,\circ)\) in cui \(\star\) sia binaria interna commutativa, con l'inverso per ogni elemento e che \(\circ\) (la composizione) sia distributiva su \(\star\).
si può fare secondo voi?

No non si può fare, ogni anello ha almeno un elemento non invertibile (lo zero).

Non si può fare nemmeno se aggiungi un elemento ausiliario col ruolo di zero, dato che c'è un teorema di Wedderburn molto divertente che afferma che un anello con divisione finito è sempre commutativo.

Forse vuoi sapere se dato un qualsiasi gruppo G esista o meno un anello che ha G come gruppo delle unità. Non mi risulta che esista un modo canonico (cioè libero da scelte) di costruire un tale anello, ma aspetta altri pareri.

Martino ha scritto:No non si può fare, ogni anello ha almeno un elemento non invertibile (lo zero).

oh, è vero

Martino ha scritto:Forse vuoi sapere se dato un qualsiasi gruppo G esista o meno un anello che ha G come gruppo delle unità.

Per quanto riguarda questo, vedi qui. Non sembra essere un problema facile.