Esercizio probabilità condizionata

[luigialab]

Salve, dovrei svolgere un esercizio di probabilità che dice:
"In un'urna vi sono 10 palline numerate dall'uno al dieci. Le palline con numero minore o uguale a 7 sono nere , le rimanenti bianche. Se ne estraggono 2 senza reinserimento. Calcolare la probabilità che la somma estratta sia 11 sapendo che sono entrambe nere".

Quello che ho fatto:

\(\displaystyle A = {"Somma=11"} \)

\(\displaystyle X = {"Due nere"} \)

Gli esiti possibili sono 90 poichè nella prima estrazione ho 10 palline e nella seconda 9.

\(\displaystyle P(X) = \frac{7}{10} * \frac{6}{9} = \frac{42}{90} \)

Ora per rispondere all'esercizio ho pensato siccome i diversi modi per ottenere 11 come somma solo usando le nere sono 4 ovvero : \(\displaystyle (7,4),(4,7),(5,6),(6,5) \) poichè non posso usare le bianche (>7) la probabilità richiesta è 4/90.

Usando però la formula della probabilità condizionata ottengo un diverso risultato infatti:
\(\displaystyle P(A|X) = \frac{P(A \cap X)}{P(X)} = \frac{\frac{4}{90}}{\frac{42}{90}} = \frac{4}{42}\)
Qual'è il giusto ragionamento? Il secondo con la probabilità condizionata mi sembra quello giusto però il primo mi lascia un pò perplesso perchè sto considerando solo i 4 possibili esiti e quindi implicitamente uso solamente palline nere. Grazie mille in anticipo!

[lukath]

Ora per rispondere all'esercizio ho pensato siccome i diversi modi per ottenere 11 come somma solo usando le nere sono 4 ovvero : \( \displaystyle (7,4),(4,7),(5,6),(6,5) \) poichè non posso usare le bianche (>7) la probabilità richiesta è 4/90.

L'errore sta qui: in questo ragionamento tu stai già supponendo di prendere in considerazione esclusivamente le palline nere. Quindi non hai più 90 possibilità di estrazione ma $7*6=42$, e, di questi 42 esiti, 4 sono quelli favorevoli, dunque la probabilità è sempre $4/42$

[luigialab]

Perfetto grazie!