Esercizio si variabile aleatoria

[jack4]

Ciao ragazzi, questa volta ho un quesito di probabilità da porvi, per il quale non ho la minima idea su come affrontarlo.
Il problema è il seguente:

Let X and Y be independent r.r.v.-s in the same probability space
(Ω, A, P ). Suppose that X admits the density f (t) = e −t if t>=0 and 0 otherwise, while
Y admits a uniform density in [0, 2]. Determine the distribution function
Fz (t) (t ∈ R) of Z(ω) := max{X(ω), Y (ω)}.

Come posso trovare il massimo di due variabile aleatorie che non conosco?

Grazie per la disponibilità

[anfri]

Ciao

In realtà è abbastanza semplice, per prima cosa cerchiamo di capire i dati del problema e quello che ci viene richiesto.
Quello che ci sta dicendo il testo è:

$X~exp(1)$, ovvero $X$ ha densità esponenziale di parametro 1.
$Y~U([0,2])$.
$X$ e $Y$ sono indipendenti.

Quello che viene richiesto è:
Posto $Z = max{X,Y}$, calcolare la funzione di distribuzione (o di ripartizione) di $Z$.

Come dovresti sapere, la funzione di distribuzione di $Z$ è una funzione $F$ tale che $F(t) = P(Z≤t)$

Cerchiamo quindi di capire come è fatta questa funzione $F$:

$F(t) = P(Z≤t) = P(max{X,Y}≤t) = P(X≤t∩Y≤t)$
perché chiaramente $max{X,Y}≤t ⇔ X≤t \and Y≤t$ (per far sì che il massimo tra 2 numeri sia $≤t$, entrambi i numeri devono risultare $≤t$)

Ma dai dati sappiamo che $X$ e $Y$ sono indipendenti, quindi continuiamo così:
$P(X≤t∩Y≤t) = P(X≤t)P(Y≤t)$

Adesso abbiamo bisogno di alcune osservazioni:

Date $X~exp(1)$ e $Y~U([0,2])$ , sappiamo già come sono fatte le funzioni di distribuzione di $X$ e $Y$, perché $X$ e $Y$ sono variabili aleatorie con densità note.

Infatti (chiamando $G$ e $H$ le funzioni di distribuzione di $X$ e $Y$ rispettivamente):

$G(t) = P(X≤t) = 0$ , se $t<0$ ; $1-e^(-t)$, se $t≥0$
$H(t) = P(Y≤t) = 0$ , se $t<0$ ; $t/2$ , se $0≤t≤2$ ; $1$ , se $t>2$

Adesso osserviamo che, siccome eravamo arrivati a dire che $P(Z≤t) = P(X≤t)P(Y≤t)$,

$P(Z≤t) = 0$ , se $t<0$ in quanto in questo caso sia $P(X≤t)$ che $P(Y≤t)$ sarebbero uguali a $0$.
$P(Z≤t) = t(1-e^(-t))/2$ , se $0≤t≤2$ perché in questo intervallo $P(X≤t) = 1-e^(-t)$ e $P(Y≤t) = t/2$
$P(Z≤t) = 1-e^(-t)$ , se $t>2$ perché in questo intervallo $P(X≤t) = 1-e^(-t)$ e $P(Y≤t) = 1$

Ed ecco che a questo punto l'esercizio è finito essendo $F$(funzione di distribuzione di $Z$) finalmente definita per ogni $t$.

Spero che tutto questo ti sia d'aiuto