Ecco la definizione (dagli appunti delle lezioni):
Siano $X$ una var. aleatoria e $(X_n)_(n∈NN)$ una successione di var. aleatorie.
Si dice che $(X_n)_(n∈NN)$ converge in probabilità verso $X$ se:
$AA\epsilon>0 \lim_{n \to \infty}P(|X_n - X|≥\epsilon)=0$.
o equivalentemente:
$AA\epsilon>0 \lim_{n \to \infty}P(|X_n - X|<\epsilon)=1$.
La mia domanda è: qual è il significato di $X_n$ nell'espressione $\lim_{n \to \infty}P(|X_n - X|≥\epsilon)$?
Da Wikipedia:
Quello che la definizione di convergenza in probabilità sostiene è che, all'aumentare di n, la probabilità che i valori assunti dalla successione differiscano dai valori assunti da X meno di una quantità positiva $\epsilon$ piccola a piacere, si avvicina sempre più ad 1.
Ma allora qual è il senso di confrontare i valori assunti da una successione di v.a. con quelli assunti da una singola v.a.?
Per quanto riguarda un'altra proposizione che recita:
Sia $(Z_n)_(n∈NN)$ una successione di v.a. aventi tutte media e varianza finite.
Se accade che:
(i) $\lim_{n \to \infty}E[Z_n]=c$
(ii) $\lim_{n \to \infty}Var(Z_n)=0$
Allora $Z_n$ converge in probabilità verso $c$.
Di nuovo: qual è il significato di $Z_n$ nelle espressioni $E[Z_n]$ e $Var(Z_n)$? Come sono definite media e varianza su una successione di v.a. come $Z_n$?
Spero che possiate chiarirmi il tutto, grazie in anticipo
