Stimatore su distribuzione esponenziale

[frons79]

Data la seguente variabile:
\[\displaystyle
f(x;\alpha)=
\begin{cases}
\alpha e^{-\alpha x}, & x \geq 0 \\
0, & altrove
\end{cases}
\]
a) Supponendo di disporre di un campione casuale di dimensione n, determinare lo stimatore di α con il metodo dei momenti;
b) Tenendo conto delle proprietà della media aritmetica, verificare se lo stimatore ottenuto è corretto.

Come riesco a calcolare lo stimatore di $\alpha$ nel caso di funzioni esponenziali di questo tipo?

[frons79]

Basta uguagliare valore atteso e media campionaria.

Dunque, trattandosi della forma generale di una distribuzione esponenziale, io posso già sapere quale sia il valore atteso, ossia
\[ \displaystyle \mathbb{E}[X]= \frac {1}{\alpha} \]
Uguagliando la media campionaria al valore atteso, otterrei
\[ \displaystyle \overline x= \mathbb{E}[X]= \frac {1}{\alpha} \Rightarrow \hat{\alpha} = \overline x^{-1} \]
Corretto?