estrazioni, massimi e probabilità

[frango]

Ciao a tutti, ho un quesito a cui non so dare risposta

se estraggo un numero y da [1,100]

x è tale che p(x>=max(y))=0.5

Nel caso banale di una sola estrazione x è 50

1) nel caso di 2,3,4...z estrazioni?

2) qual è il valore atteso di max(y)?

p.s. Scusate la notazione informale ma credo che si comprenda lo stesso il significato

[kobeilprofeta]

Premetto che non so come si calcola il valore atteso del massimo, ma voglio calcolarlo.

In z estrazioni.

Per z=1 direi $E_1= 1/100*\sum_{i=1}^{100} i= 50,5$

ora al secondo lancio (z=2) è come se avessi la metà dei numeri che mi lasciano inalterato il valore atteso, e metà che me lo alzano. Io direi $E_2= 1/2*E_1+1/2* 1/50*\sum_{i=51}^{100} i= 63$...

E via cosí... Non so se si è capito.

[nino_]

Secondo me, si dovrebbe calcolare il valore corrispondente alla probabilità del 50%, cioè le coppie, terzine, quartine, ecc..., favorevoli rispetto a quelle totali possibili.

Nel caso di estrazioni con reintroduzione, i casi totali (su 100 numeri da 1 a 100) relativi a n estrazioni sono 100^n.
Con l'interpretazione che ho dato, il valore massimo che si ha in media è:

2 estrazioni = 70,71
3 estrazioni = 79,37
4 estrazioni = 84,09
5 estrazioni = 87,05
..................

In realtà il valore atteso è dato dalla somma dei valori possibili, ciascuno moltiplicato per la probabilità di verificarsi.
Quindi (sempre su 100 numeri da 1 a 100), il valore atteso è:

1 estrazione = 50,5
2 estrazioni = 67,165
3 estrazioni = 75,4975
4 estrazioni = 80,4966...

[frango]

Grazie dei contributi.

Nel frattempo ci ho pensato anch'io e ottengo gli stessi risultati di nino. Ecco come ci sono arrivato io:

la probabilità che z estrazioni siano inferiori a x è (1-x)^z. poniamo il tutto = 0.5

x = 1-0.5^(1/z)

Il valore atteso non saprei

EDIT:aggiunto parentesi

[nino_]

Il valore atteso è dato dalla somma dei valori possibili della variabile ciascuno moltiplicato per la probabilità di verificarsi.

Quindi occorre preparare una tabella con i casi possibili per i vari valori.

Es. $ z=2$ estrazioni

max(y)=1 ----> 1 caso (1 - 1)
max(y)=2 ----> 3 casi (1 - 2; 2 - 1; 2 - 2)
max(y)=3 ----> 5 casi (1 - 3; 3 - 1; 2 - 3; 3 - 2; 3 - 3)
.......
max(y)=100 ----> 199 casi

Determinare per ciascun evento la probabilità (dividendo i casi favorevoli che sono $ n^2-(n-1)^2 = 2n-1 $ per i casi totali che sono $100^z$) e quindi moltiplicare queste probabilità per i relativi valori della variabile (1, 2, 3, ..., 100).
La somma (che nel caso di $ z=2$ è $67,165$) è il valore atteso.

Lo stesso si può fare per $z=3$. I casi favorevoli sono ora $n^3-(n-1)^3$ e quelli totali $100^3$.

Ecc... per qualsiasi numero di estrazioni z.

[frango]

Interessante la soluzione che uilizza l'approccio combinatrio, però nel caso di nueri reali non si può applicare.

[nino_]

Intendevo un'estrazione a sorteggio tipo tombola.