Esercizio lettere alfabeto

[marcosinaido]

ciao a tutti ho il seguente esercizio:

Un urna contiene 21 palline , ciascuna recante una delle 21 lettere dell'alfabeto , calcola la probabilità che estraendo 5 palline ( in blocco e senza reinserimento ) escano le 5 lettere che compongono la parola "bravo"

io l'ho fatto nel seguente modo solo che non riesco a capire perchè sia sbagliato:

$ 1/21 * 1/20 * 1/19 * 1/18 * 1/17 $

Ho ragionato cosi:

prima dobbiamo pescare la lettera "B" quindi la sua probabilità dovrebbe essere $1/21$ , poi dobbiamo pescare la lettera "R" e la sua probabilità , avendo anche una pallina in meno , dovrebbe essere $1/20$ e cosi via.

Dov'è che sbaglio?

Vi ringrazio

[kobeilprofeta]

Perchè dici che è sbagliato?
Perchè la soluzione è magari $((21),(5))$?

[manfrf]

ciao a tutti ho il seguente esercizio:

Un urna contiene 21 palline , ciascuna recante una delle 21 lettere dell'alfabeto , calcola la probabilità che estraendo 5 palline ( in blocco e senza reinserimento ) escano le 5 lettere che compongono la parola "bravo"

io l'ho fatto nel seguente modo solo che non riesco a capire perchè sia sbagliato:

$ 1/21 * 1/20 * 1/19 * 1/18 * 1/17 $

Ho ragionato cosi:

prima dobbiamo pescare la lettera "B" quindi la sua probabilità dovrebbe essere $1/21$ , poi dobbiamo pescare la lettera "R" e la sua probabilità , avendo anche una pallina in meno , dovrebbe essere $1/20$ e cosi via.

Dov'è che sbaglio?

Vi ringrazio

è giusto soltanto che il numeratore va moltiplicato per 5! dato che l'ordine delle estrazioni non conta. Cioe ad esempio la lettera "b" può essere pescata per terza. Da quello che ho capito è che al termine delle estrazioni tu abbia le 5 lettere.

[kobeilprofeta]

Quoto manfrf
È come dice lui
Da lí la binomiale...

[superpippone]

Come prima estrazione hai 5 lettere "buone"
Come seconda ne hai 4.
..............

$5/21*4/20*3/19*2/18*1/17$

Che poi è la stessa cosa che hanno detto manfrf e kobe (2° risposta)

[marcosinaido]

a ok perfetto ora mi è chiaro , solo che questa soluzione mi ha fatto venire un dubbio :

tu hai detto che bisogna moltiplicare per $5!$ per appunto l'ordine non conta , cioè , ad esempio , la lettera "B" può capitare dove vuole. Però prendiamo quest'altro esercizio :

Calcolare la probabilità che lanciando 3 monete escano due teste.

io questo l'avrei risolto cosi:

$1/2 * 1/2 * 1/2 * 3$

Ho ragionato cosi:

MI devono uscire due teste( in qualsiasi ordine basta che ne escano 2) , quindi ad esempio la prima può essere una croce($1/2$) , e le altre due devono essere teste; poi però siccome ho 3 possibilità allora moltiplico per $3$ perchè appunto una testa può uscire per prima e l'altra ultima , oppure le prime due sono teste e l'ultima croce ecc.

Quello che non riesco a capire è:

perchè in questo caso abbiamo moltiplicato per $3$ e non per $3!$?(anche in questo caso , come nell'esercizio della domanda principale , l'ordine non conta)

Vi ringrazio molto per l'attenzione e disponibilità

P.S: scusami kobeilprofeta non ho capito la tua prima risposta , cosa volevi dire?

[kobeilprofeta]

Ciao. L'ultimo esercizio che hai messo è diverso dal primo: ilmprimo era un'estrazione senza reimmissione, questo è una serie di esperimenti indipendenti (tre lanci di moneta).
Qua la formula da usare è la binomiale: $n$ tentativi, probabilità $P$ che esca $k$ volte l'evento con probabilità $p$:
$P=p^k*(1-p)^(n-k)*((n),(k))$

la logica di questa formula è:
Deve uscire k volte un evento di prob p: $p^k$
e nelle altre n-k volte non deve accadere: $(1-p)^(n-k)$
solo che bisogna tenere conto che non conta l'ordine, quindi le k volte in cui si verifica l'evento, non devono essere per forza le prime k, ma possono essere ordinate (sparse) in j modi, dove $j=((n),(k))$.

Nel tuo caso $p=1/2$, $n=3$, $k=2$.

[superpippone]

Nell'ultimo esercizio hai 3 risultati, di cui 2 (le teste) sono uguali.
Pertanto la soluzione tecnicamente corretta sarebbe:

$1/2*1/2*1/2*(3!)/(2!)$

[kobeilprofeta]

...che è ciò che ho scritto un po' piú formalmente io...

Nel caso delle estrazioni senza reimmissione, ti riconduci ad un problema del genere:
Urna con $n$ palline (tutte le lettere dell'alfabeto), $k$ rosse (quelle che formano la parola "bravo"), qual è la probabilità, pescandone $a$ (5), di pescarne $b$ rosse (sempre 5, perchè tu, pescandone 5, le vuoi "azzeccare tutte e 5)?
$p=frac{((k),(b))*((n-k),(a-b))}{((n),(a))}$
...
Anche qui puoi "capire il senso" della formula:
Tutte le possibili pescate sono $((n),(a))$, quelle che vanno bene sono Il prodotto dei modi in cui ne puoi pescare $b$ tra $k$ e non-b tra non-k...

Spero di essere stato abbastanza chiaro...

[marcosinaido]

allora diciamo che la spiegazione utilizzando l'ipergeometrica l'ho capita , mentre la spiegazione utilizzando la formula "manuale " ( cioè quella proposta da me solo moltiplicando $5!$) non la riesco a capire molto bene.

Inoltre ho un dubbio , se il testo avesse detto di pescare le palline con le lettere della parola "bravo" però in ordine, cioè che la lettera "b" deve essere pescata per prima , la lettera "r" per seconda ecc la soluzione è questa :

$ 1/21 * 1/20 * 1/19 * 1/18 * 1/17 $ giusto?