Applicazione teorema limite centrale al gioco della roulette americana

[Alifer1991]

Ciao a tutti!Da qualche giorno sono alle prese con un esempio di applicazione delle regole base dei teoremi limite,riferito al noto gioco della roulette americana.Il mio testo descrive in questo modo il problema:se scommetti 1 dollaro sulla roulette americana vinci 35 dollari se esce il tuo numero,altrimenti perdi 1 dollari.Le probabilità di successo e insuccesso per questo gioco sono quindi rispettivamente 1/38 e 37/38.Considerata la variabile aleatoria ''guadagno in una prova'' il guadagno atteso è quindi
E(x)=35 x (1/38) -1 x (37/38)= - 2/38 = -0.0526 centesimi ,ossia circa una perdita di 5,3 centesimi per ogni partita.
Supponendo di ripete il gioco molte volte la probabilità di essere in attivo è sempre più piccola al crescere dei tentativi e dopo 100 000 giocate non solo starai quasi certamente perdendo (la tua probabilità di essere in attivo è di appena 0.002) ma nel 95 % dei casi la tua perdita media per giocata sarà di 5,26 +/- (più o meno) 1,13 centesimi!.
ABBOZZO DI RISOLUZIONE: Per quanto riguarda il calcolo della probabilità di essere in attivo dopo n prove ho semplicemente applicato la formula binomiale e per diversi n ho considerato il numero di successi necessari per avere un guadagno > 0 senza difficoltà. Per quanto riguarda il dato della perdita media per giocata dopo 100 000 giocate sono completamente in confusione , ho interpretato il dato di 5,26 +/- 1,13 centesimi come i parametri valore atteso e 2SD( 2 deviazioni standard) della distribuzione campionaria della media approssimata quindi a una normale in base al teorema del limite centrale, infatti questo sarebbe coerente con una probabilità del 95 % di selezionare un campione con una media compresa in questo intervallo.Il mio ragionamento mi porta però a risultati diversi da quelli del testo infatti:
Var(x) =(-1+0.0526)^2 x 37/38 +(35 + 0.0526)^2 x 1/38 = 33,2 e quindi σ = √33,2= 5,76
e quindi l'errore standard della media campionaria---> SD= σ / √n (con n=numerosità campione=100 000)
che mi porta a questo risultato SD=5,76/316,22 = 0,018 e quindi 2SD=0,036
Sarei molto grato a chiunque mi possa dare un'illuminazione

[Injuria]

Due osservazioni:
- Il tuo calcolo della varianza è sicuramente sbagliato. Usi la varianza della distribuzione della media campionaria, mentre devi usare la varianza della distribuzione binomiale che è $ Var(x) = npq $.
- Provando a fare i calcoli mi risulta una deviazione standard approssimata pari a $ 1.013/2 $ e non $ 1.13/2 $. Potrebbe esserci un errore di stampa? Oppure ho sbagliato qualcosa nei calcoli.

In questa voce trovi un esempio analogo:
http://en.wikipedia.org/wiki/Gambling_m ... _deviation

[Alifer1991]

Ti ringrazio per l'interessamento anche se ancora brancolo nel buio,dato che il mio calcolo sulla varianza è sbagliato significa che tutto il mio ragionamento cade e che quindi il dato di 5,26+/- 1,13 non si riferisce ai paramenti della distribuzione della media campionaria. io infatti avevo ipotizzato una replicazione di 100 000 prove dicotomiche che mi forniscono quindi un campione di dimensione n e ho usato la formula per calcolare la SD della media campionaria partendo dalla SD della mia distribuzione X( guadagno atteso) e la radice della dimensione del campione.Se rileggi questo messaggio e ti senti in vena di buone azioni mi piacerebbe avere ancora un chiarimento.grazie ancora

[Alifer1991]

PS: forse in questo caso è anche necessaria una correzione di continuità ma non saprei proprio da dove iniziare per applicarla

[Injuria]

Devo essere sincero che non ho capito come hai calcolato la varianza.
Cerchiamo di riordinare le idee: hai un esperimento binomiale il quale genera una distribuzione binomiale che per numerosità alte si può approssimare alla distribuzione normale.
Che sia approssimata alla normale o meno, la media e la deviazione standard della distribuzione binomiale sono le seguenti:

$ mu = np $
$\sigma = sqrt(npq) $ dove $ q=1-p$

Il teorema del limite centrale ti dice che all'aumentare della numerosità campionaria la distribuzione campionaria della media campionaria è approssimativamente normale. Questo concetto è coerente con l'approssimazione della distribuzione binomiale ad una normale la cui curva di densità presenta la medesima media e dev.st.



Dunque proviamo coi dati del problema:

$ mu = 100000*1/38 = 2631,579 $
$\sigma = sqrt(100000*1/38*37/38) = 50,619$

La mia vincita/perdita attesa dopo 100.000 lanci è:
$p*(-1)*n+q*(35)*n~= -5263,15$

Dunque nel 95% dei campioni di numerosità 100.000 la perdita sarà compresa fra:

$-5263,15+-2*\sigma$ ovvero $-5263,15+-101,3$

Quindi per ogni lancio la perdita media sarà
$-5,26cent+-1,013cent$

Io ho seguito questo ragionamento, il risultato però non è corretto secondo quanto dice il tuo libro di testo che vuole il doppio della d.s. pari a 1,13 , quindi un po' di dubbi permangono. Sinceramente altre soluzioni non mi vengono in mente.

[Alifer1991]

I calcoli che tu hai fatto li ho fatti anche io con la differenza che ho fatto una netta distinzione tra la V.C binomiale(X) e la V.C guadagno in n prove(Y) .Le due V.C io le ho messe in relazione con un combinazione lineare( Y=36X-n) dove n =numero di prove per calcolarne agevolmente i momenti,non capisco infatti come mai centri la distribuzione sulla media della v.c guadagno e poi usi un indice di variabilità riferito alla distribuzione del numero di successi a prima osservazione mi lascia perplesso il fatto di ''mischiare'' le unità di misura.In ogni caso credo che prenderò per buono il tuo procedimento visto che sono a corto di idee

[Injuria]

Capito, ho interpretato male io il testo, tu usi questa procedura per la varianza:
http://ltcconline.net/greenl/courses/Ga ... ulette.htm
...che però comunque non risulta. Siamo punto ed a capo.

[Alifer1991]

Capito, ho interpretato male io il testo, tu usi questa procedura per la varianza:
http://ltcconline.net/greenl/courses/Ga ... ulette.htm
...che però comunque non risulta. Siamo punto ed a capo.

ahaha si , comunque la varianza la calcolo per definizione sulla v.c guadagno, ipotizzando di giocare 100 000 volte ho la somma campionaria che segue distribuzione distribuzione binomiale approssimata a normale(quindi anche la media) ma con una scala diversa .Da li la scelta di calcolare la deviazione standard della media e quindi l intervallo dell'errore campionario con probabilità 95%.Me ne farò una ragione....