La derivata prima mi esce:
\begin{equation}
f'(x)=\frac{1}{4\sqrt{\pi}}e^{-\frac{1}{4}(x-1)(x-2)} (3-2x)
\end{equation}
La derivata seconda:
\begin{equation}
f''(x)=\frac{1}{16\sqrt{\pi}}e^{-\frac{1}{4}(x-1)(x-2)} (4x^2-12x+1)
\end{equation}
\begin{equation}
f''(x)=\frac{1}{16\sqrt{\pi}}e^{-\frac{1}{4}(x-1)(x-2)} (4x^2-12x+1)=0
\end{equation}
se e soltanto se $(4x^2-12x+1)=0$ quindi $x=\frac{3}{2}\pm\sqrt{2}$. Quindi $\mu=\frac{3}{2}$ e $\sigma=sqrt{2}$.
Credo, è l'unica cosa che mi è venuta in mente in quanto non puoi ricondurti ad un quadrato perfetto.