Distribuzione binomiale

[Bubbino1993]

Buonasera, ho difficoltà con quest'esercizio: "un'urna contiene 8 palline nere e 20 bianche; calcolare il numero minimo di estrazioni con restituzione da fare affinché la probabilità che venga estratta almeno una pallina nera sia maggiore di 3/4".

Considero X come numero aleatorio di palline nere ottenute. Dopodiché il libro dà un suggerimento: "si ha $P(X>=1)=1-P(X=0)=1-(5/7)^(n_(min))$. Io però non ho capito come utilizzarlo: da dove esce quel 5/7!? O ci sono modi alternativi? Grazie.

[nino_]

$5/7$ non è nient'altro che $(20)/(20+8)$
cioè la probabilità di estrarre una pallina bianca dall'urna che ne contiene 20 bianche e 8 nere.

Il numero minimo di estrazioni è $5$, con le quali la probabilità che venga estratta almeno una pallina nera è $ 0,814$.

[Bubbino1993]

OK. Allora chiamo E l'evento "si estrae una pallina nera". Il numero aleatorio ad esso associato è quindi $X=|E_1|+...+|E_n|$. Dunque $P(X>=1)=1-P(X=0)=1-(5/7)^n>3/4 rarr n>4,12 rarr n_(min)=5$. Perfetto, grazie ancora, @Nino.