Insieme degli eventi (Omega) di una Normale

[salemgold]

Ciao a tutti!

Una variabile aleatoria $X$ è definita come una funzione da $\Omega$ (set degli eventi) in uno spazio misurabile, ad esempio $\mathbb{R}$.
Ad esempio, se $X$ è il risultato di un dado al quadrato, $\Omega$ è $\{1,2,3,4,5,6\}$ e $X(\omega) \in \{1,4,9,16,25,36\}$,
in altre parole $X(\omega): \{1,2,3,4,5,6\} \rightarrow \{1,4,9,16,25,36\}$.

La mia domanda è, qual è $\Omega$ se $X$ è una variabile aleatoria normalmente distribuita?
Io credo che dire che sia normalmente distribuita ci dice solo come calcolare le probabilità su $\mathbb{R}$ ma $\Omega$ rimane "astratto".

[salemgold]

\(\mathbb{R}\). Ad esempio, se si rileva la statura di un individuo appartenente a una qualche popolazione, "statura" è un numero reale. Se la v.a. "statura" ha distribuzione normale, la probabilità che la statura sia zero o infinita è nulla, ma cresce man mano che ci si avvicina alla statura media.
Si usa qui una variabile aleatoria non per convertire in numero qualcosa che è già un numero, ma per gestire eventi quali "statura compresa tra 1.70 e 1.80", "statura minore di 1.60", che non sono eventi elementari (sono intervalli, non punti, della retta reale).

Non sono convinto. In questo esempio mi pare che $\Omega$ sia l'insieme di tutti gli individui e che $X(\omega)$ sia l'aleatoria statura dell'individuo $\omega$. Come nel caso che hai citato "Testa o Croce": $\Omega = \{ T, C \}$ e $X(\omega)$ è il valore aleatorio osservato ($1$ o $0$).

[salemgold]

Se \(\Omega\) è lo spazio dei risultati dell'esperimento "lancio di un dado al quadrato", allora \(\Omega=\{1,4,9,16,25,36\}\).

In analogia all'esempio "lancio di due dati", per me $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$ e
\[ X=\begin{cases} 1 & \text{se } \omega=1 \\ 4 & \text{se } \omega=2 \\ \dots \\
36 & \text{ se } \omega=6 \end{cases}\]

[salemgold]

Grazie per le risposte, ora capisco dove stavo sbagliando.

Supponiamo che l'altezza delle persone sia normalmente distribuita (assunzione ovviamente falsa perché in realtà non si possono ottenere valori negativi). Sia $X(\omega_1,\omega_2)$ la varaibile aleatoria "somma di una coppia di altezze".
In questo caso:
$\Omega=\mathbb{R}^2$,
$X: \Omega \rightarrow \mathbb{R}$ , $X(\omega_1,\omega_2)=\omega_1+\omega_2$
Per $B\subset \mathbb{R}$, $\mathbb{P_X}(X \in B)= \mathbb{P_X}((\omega_1,\omega_2): X(\omega_1,\omega_2) \in B)$ e sapere la distribuzione delle altezze è ciò che ci permette di calcolare l'integrale al secondo membro dell'uguaglianza:
\[
\int_{\{(\omega_1,\omega_2) :\, X(\omega_1,\omega_2) \in B\}} \mathbb{P_X}(d\omega_1\, d\omega_2) = \int_B f_{\mathbb{X}}(x)\, dx
\]
dove $\mathbb{P_X}$ è la misura su $\Omega$ che è "astratta" ma che noi riusciamo a calcolare usando la misura di Lebesgue (che sappiamo come integrare) e la densità di $X$ (che sappiamo grazie all'assunzione della normalità).

Ora è tutto corretto? Spero di avere capito nel dettaglio.
Grazie mille!

[salemgold]

A me sembra che il mio esempio "somma di due altezze" sia come quello della "somma di due dadi" che hai fatto in precedenza:

Analogamente, se lanci due dadi ottieni due numeri, \(\Omega=\{(1,1),(1,2),\dots,(2,1),(2,2),\dots,(6,1),(6,2),\dots,(6,6)\}\), e puoi definire la v.a. \(X=\) somma di due dadi:
\[ X=\begin{cases} 2 & \text{se } \omega=(1,1) \\ 3 & \text{se } \omega=(1,2) \text{ oppure } \omega=(2,1) \\ \dots \\
12 & \text{ se } \omega=(6,6) \end{cases}\]

Io estraggo due persone e ottengo due numeri.
Per me $\Omega=\mathbb{R}\times \mathbb{R}$ analogamente a $\Omega=\{1,...,6\}\times\{1,...,6}$ del tuo esempio.
Non capisco la differenza.