sapreste indirizzarmi verso la giusta strada? 
Scrivo le due tracce e poi darò la mia soluzione
1.1 Una classe è formata da $10$ ragazzi e $10$ ragazze.
Dividiamo a caso la classe in due squadre composte da $10$ persone ciascuna. In quanti modi questo può avvenire? Quanti sono i casi in cui le due squadre hanno lo stesso numero di ragazze e ragazzi? Qual'è il rapporto tra tali due valori in forma percentuale?
1.2 Si hanno a disposizione $6$ vernici di colori diversi, con cui si vogliono dipingere $4$ pareti di una stanza, usando un solo colore per parete.
a)In quanti modi si possono dipingere le pareti se si decide di non usare più volte uno stesso colore?
b)In quanti modi se si decide che è possibile usare più volte uno stesso colore?
c)In quanti modi se si decide che è possibile usare più volte uno stesso colore, purchè non su pareti adiacenti?
d)Generalizzare le risposte dei quesiti al caso di una stanza poligonale con $n$ pareti.
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Premetto che per avere un quadro più schematico del calcolo combinatorio, utilizzo questo (appunto) schema che ho trovato sul web che però non so se sia applicabile a qualsiasi problema perchè a volte mi perdo anche con il suo aiuto.
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
"Soluzione" 1.1
Il problema dice "Dividiamo a caso la classe" quindi vado subito a pensare che l'ordine in questo problema non conti e quindi useremo le combinazioni per risolvere il problema. Dato che non può esserci una stessa persona ripetuta nella stessa squadra o nell'altra squadra, useremo le combinazioni semplici. Ed è qui che non so come muovermi. Io ho scritto questo:
La suddivisione in due squadre può avvenire in $2* C_20,_10$\(\displaystyle \binom{20}{10} \) modi $= 2* (20!)/(10!*10!) rArr $
$rArr 2* (20*19*18*16*15*14*13*12*11)/(10*9*8*7*6*5*4*3*2)$
però arrivato a questo punto mi son chiesto: e se questo fosse un multi-insieme da risolvere
con la formula \(\displaystyle \binom{n+k-1}{k} \) ?
e quindi... $n=2$ (l'insieme dei ragazzi e l'insieme delle ragazze), $k=10$ (la squadra da formare)
Allora
\(\displaystyle \binom{2+10-1}{10} \) $rArr$ \(\displaystyle \binom{11}{10} \) $=11$
(che però sembra molto basso come numero dato che deve rappresentare le possibili combinazioni per formare $2$ squadre da $10$ su $20$ ragazzi/e)
Sinceramente, rispetto agli altri esercizi che son riuscito a risolvere, questo per me è il meno comprensibile. Non riesco ad individuare qual'è la formula ed il ragionamento giusti da utilizzare.
Per la restante parte dell'esercizio non so come procedere.
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"Soluzione" 1.2
Su questo esercizio credo di sapermi muovere meglio, ma solamente sui punti a) e b)
Leggendo la traccia pare che l'esercizio ci abbia dato un suggerimento dicendo "si hanno a disposizione 6 vernici". (non che voglia dire proprio che si tratti di disposizioni, ma se ho capito bene lo sono)
Quindi....a) non si può usare più volte lo stesso colore: disposizioni semplici
$D_6,_4= (6!)/((6-4)!) rArr (6!)/(2!) rArr 6*5*4*3 = 360$ modi
b) si può utilizzare più volte lo stesso colore: disposizioni con ripetizione
$D'_6,_4= 6^4 = 1296$ modi
c) non lo so risolvere
d) mi confonde la traccia parlando di "$n$" pareti perchè nel problema, $n$ (se ho capito bene) sono le vernici e qui mi è venuto il dubbio di aver sbagliato tutto quanto. Quindi vorrei sperare che $n$ si riferisca alle vernici e $k$ alle pareti. Voi cosa ne pensate? Quell'$n$ lo devo interpretare come un $k$ oppure ho sbagliato tutto io?
): $ ( (20), (5) ) = 15504 $ .
