convergenza quasi certa

[gbspeedy]

Ho una successione di variabili aleatorie $Y_n$ tali che $Y_n ~ Un(0,1/n)$.
devo studiare la covergenza q.c di ${n^{\gamma}Y_n}$
Ho provato che per $\gamma >=1$ non ho convergenza q.c. perchè non ho convergenza in probabilità

( infatti $\forall \epsilon >0 ,P(nY_n>\epsilon)$ non tende a 0).

Non riesco a mostrarlo per $\gamma<1$

[DajeForte]

Quello che scrivi tra parentesi non proprio corretto.
Con quello dimostri che non vi è convergenza a 0, ma chi ti dice che il limite sia 0.

Prova a rifletterci un po.

[gbspeedy]

Ho $P(n^\gamma Y_n>\epsilon)= 0$ se $\epsilon>=n^{\gamma-1}$; $P(n^\gammaY_n>\epsilon)= 1-\frac{\epsilon}{n^{\gamma-1}}$ se $\epsilon<n^{\gamma-1}$?

[DajeForte]

Ho $ P(nY_n>\epsilon)= 0 $ se $ \epsilon>=n^{\gamma-1} $; $ P(nY_n>\epsilon)= 1-\frac{\epsilon}{n^{\gamma-1}} $ se $ \epsilon?

Questo è giusto. Ma se chiami $X_n= n^{gamma} Y_n$, la convergenza in probabilità ad una v.a. X è verificata se
$lim_n P(|X_n-X|> varepsilon) =0$.
Te calcoli questo con $X=0$. Quindi dimostri che $X_n$ non converge a 0 per $gamma >=1$.

Studia separatamente i tre casi $gamma >1, quad gamma=1, quad gamma<1$. Tieni anche a mente che $X_n$ si distribuisce come una $text{Unif}(0, n^{gamma-1})$.

[gbspeedy]

Se $\gamma=1$ ho $P(nY_n>\epsilon)= 0$ se $\epsilon>=1$; $P(nY_n>\epsilon)= 1-\epsilon$ se $0<\epsilon<1$.
Quini non ho convergenza in probabilità e quindi quasi certa.
Se $\gamma>1$ ho$P(n^\gamma Y_n>\epsilon)-> 1 \forall \epsilon>0$ e quindi anche in questo caso non ho convergenza.

ma per $\gamma<1$ cosa posso dire?

[DajeForte]

Se $\gamma=1$ ho $P(nY_n>\epsilon)= 0$ se $\epsilon>=1$; $P(nY_n>\epsilon)= 1-\epsilon$ se $0<\epsilon<1$.
Quini non ho convergenza in probabilità e quindi quasi certa.
Se $\gamma>1$ ho$P(n^\gamma Y_n>\epsilon)-> 1 \forall \epsilon>0$ e quindi anche in questo caso non ho convergenza.

Ma no. Te lo ho gia detto. Cosi hai dimostrato che non c'é convergenza alla v. a. 0. Tu devi studiare la convergenza, quindi chi ti dice che non ci sia un'altra variabile alla quale la successione converge?

[gbspeedy]

Scusa c'era un errore nel testo.Devo provare solo la convergenza a 0.
Quindi per $\gamma<1$?

[DajeForte]

Haaa ecco. Potrebbe comunque essere un buon esercizio, studiare la convergenza in generale.
Per $gamma<1$, usa il teorema del confronto.
Infatti $Y_n<=...$